14.6. 解釈とまとめ🔗

線形作用素の要点は， 線形性があると連続性の判定が \|T(x)\|\le C\|x\| という1本の不等式に集約されることである． この不等式が成り立つと， 極限をとっても x_n\to x \implies T(x_n)\to T(x) が自動的に従う．

また有界線形作用素全体 \mathcal B(X,Y) 自身も，Y がBanach空間ならBanach空間になる． したがって「空間の上の写像」をさらに1つの空間として扱えるようになる．

積分作用素は有界線形作用素の典型例であり， 微分作用素はノルムの取り方によっては非有界になる典型例である． この対比は，関数解析が \text{どの空間で}，\text{どのノルムで} 問題を見るかを非常に重視することを示している．