\{T_n\}_{n=1}^{\infty} を \mathcal B(X,Y) のCauchy列とする． すなわち任意の \eps>0 に対して，ある N が存在して m,n\ge N \implies \|T_n-T_m\|<\eps である．

まず各 x\in X について \{T_n(x)\} が Y でCauchy列になることを示す． 実際，

\|T_n(x)-T_m(x)\|_Y \le \|T_n-T_m\|\,\|x\|_X

だからである． Y はBanach空間なので，極限 T(x):=\lim_{n\to\infty}T_n(x) が存在する． こうして写像 T:X\to Y が定まる．

次に T が線形であることを示す． x,y\in X，a,b\in\RR に対して T_n(ax+by)=aT_n(x)+bT_n(y) であり，n\to\infty とすれば T(ax+by)=aT(x)+bT(y) を得る． したがって T は線形である．

さらに T が有界であることを示す． \{T_n\} はCauchy列だから，ある N_0 が存在して n,m\ge N_0 \implies \|T_n-T_m\|\le 1 である． 特に n\ge N_0 とすると \|T_n\|\le \|T_{N_0}\|+\|T_n-T_{N_0}\|\le \|T_{N_0}\|+1 である． したがって M:=\max\{\|T_1\|,\dots,\|T_{N_0-1}\|,\|T_{N_0}\|+1\} とおけば， すべての n とすべての x\in X に対して \|T_n(x)\|_Y\le M\|x\|_X が成り立つ． n\to\infty とすれば \|T(x)\|_Y\le M\|x\|_X を得る． よって T\in\mathcal B(X,Y) である．

最後に T_n\to T が作用素ノルムで成り立つことを示す． \eps>0 を与え，上のCauchy条件を満たす N を取る． n\ge N とし，\|x\|_X\le 1 を満たす任意の x を取る． すると任意の m\ge N に対して \|(T_n-T_m)(x)\|_Y\le \|T_n-T_m\|<\eps である． m\to\infty とすると \|(T_n-T)(x)\|_Y\le \eps を得る． これは \|x\|_X\le 1 の任意の x に対して成り立つから \|T_n-T\|\le \eps (n\ge N) である． したがって \|T_n-T\|\to 0 である． よって \mathcal B(X,Y) は完備である．