13.6. 解釈とまとめ🔗

Banach空間では長さだけを見ていたが， Hilbert空間では内積によって \text{長さ}，\text{角度}，\text{直交} が同時に扱えるようになった．

特に重要なのは， L^2(X) がHilbert空間になることである． ここでは関数の直交性が積分 \int_X f g\,d\mu で表されるため， 積分論と線形代数が直接結びつく．

さらに正規直交系を用いると， 任意のベクトル x を \langle x,e_n\rangle という係数で解析できる． Bessel の不等式と Parseval の等式は， この展開がエネルギー保存 \|x\|^2 と整合的であることを示している． 次章では，こうした空間のあいだを結ぶ写像として 線形作用素を導入する．