13.5. Fourier関数系
- No associated Lean code or declarations.
実Fourier関数系.
L^2([0,1],\lambda) において
\varphi_0(x):=1，
\varphi_n^c(x):=\sqrt{2}\cos(2\pi n x)，
\varphi_n^s(x):=\sqrt{2}\sin(2\pi n x) (n\ge 1) を考える．
これらをまとめて実Fourier関数系という．
- No associated Lean code or declarations.
実Fourier関数系は L^2([0,1],\lambda) の正規直交系である．
まず
\int_0^1 1^2\,dx=1 だから \varphi_0 は長さ 1 をもつ．
次に n\ge 1 とすると
\int_0^1 \cos^2(2\pi n x)\,dx
=
\frac12\int_0^1 \bigl(1+\cos(4\pi n x)\bigr)\,dx
=
\frac12
であるから
\|\varphi_n^c\|_2^2=2\cdot \frac12=1 である．
同様に
\int_0^1 \sin^2(2\pi n x)\,dx
=
\frac12\int_0^1 \bigl(1-\cos(4\pi n x)\bigr)\,dx
=
\frac12
より
\|\varphi_n^s\|_2^2=1 である．
また任意の非零整数 k に対して
\int_0^1 \cos(2\pi kx)\,dx=0，\int_0^1 \sin(2\pi kx)\,dx=0 である．
したがって
\langle \varphi_0,\varphi_n^c\rangle
=
\sqrt{2}\int_0^1 \cos(2\pi n x)\,dx
=0,
\langle \varphi_0,\varphi_n^s\rangle
=
\sqrt{2}\int_0^1 \sin(2\pi n x)\,dx
=0.
さらに m\ne n に対して積和公式
\cos \alpha \cos \beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr) を用いると
\begin{aligned}
\langle \varphi_n^c,\varphi_m^c\rangle
&=
2\int_0^1 \cos(2\pi n x)\cos(2\pi m x)\,dx \\
&=
\int_0^1 \cos(2\pi(n-m)x)\,dx
+
\int_0^1 \cos(2\pi(n+m)x)\,dx \\
&=0.
\end{aligned}
n=m のときはすでに長さ 1 を確かめたので
\langle \varphi_n^c,\varphi_n^c\rangle=1 である．
同様に
\sin \alpha \sin \beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr) より
\langle \varphi_n^s,\varphi_m^s\rangle=\delta_{nm} を得る．
最後に
\sin \alpha \cos \beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr) より
\langle \varphi_n^s,\varphi_m^c\rangle=0 である．
したがって実Fourier関数系は正規直交系である．
Remark. 実Fourier関数系に対するFourier係数は
\begin{aligned}
\langle f,\varphi_0\rangle&=\int_0^1 f(x)\,dx,\\
\langle f,\varphi_n^c\rangle&=\sqrt{2}\int_0^1 f(x)\cos(2\pi n x)\,dx,\\
\langle f,\varphi_n^s\rangle&=\sqrt{2}\int_0^1 f(x)\sin(2\pi n x)\,dx
\end{aligned}
で与えられる． つまり Fourier 係数は「関数と基本波との内積」である．
古典的な Fourier 解析では，
この正規直交系が実際に CONS であることを示す．
その結果，L^2([0,1],\lambda) の関数をFourier級数で展開できる．