13.4. 正規直交系と直交射影
- No associated Lean code or declarations.
直交と正規直交.
内積空間 H の x,y\in H に対して
\langle x,y\rangle=0 のとき，x と y は直交するといい，x\perp y と書く．
また \|x\|=1 を満たすベクトルを正規化されたベクトルという．
互いに直交し，かつ各ベクトルが長さ 1 をもつベクトル族を正規直交族という．
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正規直交系とCONS.
Hilbert空間 H の列 \{e_n\}_{n=1}^{\infty} が正規直交系であるとは，
任意の m,n\in\NN に対して
\langle e_n,e_m\rangle=
\begin{cases}
1 & (n=m),\\
0 & (n\ne m)
\end{cases}
が成り立つことをいう．
さらに
\operatorname{span}\{e_1,e_2,\dots\} の閉包が H 全体に一致するとき，
この正規直交系を完全正規直交系
（complete orthonormal system, CONS）という．
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正規直交族は線形独立である．
\sum_{k=1}^N c_k e_k=0 とする．
両辺と e_j との内積をとると
0=\left\langle \sum_{k=1}^N c_k e_k,e_j\right\rangle
=\sum_{k=1}^N c_k \langle e_k,e_j\rangle=c_j である．
j=1,\dots,N は任意だから，すべての係数 c_j は 0 である．
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Fourier係数と部分和.
\{e_n\}_{n=1}^{\infty} をHilbert空間 H の正規直交系とする．
x\in H に対して
\langle x,e_n\rangle を x の e_n に関するFourier係数という．
また
P_Nx:=\sum_{n=1}^N \langle x,e_n\rangle e_n を x の第 N 部分和という．
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直交射影の基本性質.
\{e_n\} を正規直交系とし，
M_N:=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_N\} とおく．
このとき任意の x\in H に対して次が成り立つ．
-
x-P_Nx \perp e_j
\qquad (1\le j\le N)
-
任意の
y\in M_Nに対して
\|x-y\|^2
=
\|x-P_Nx\|^2
+
\|P_Nx-y\|^2
が成り立つ． 特に
\|x-P_Nx\|\le \|x-y\|
である．
(1)quad
1\le j\le N に対して
\begin{aligned}
\langle x-P_Nx,e_j\rangle
&=
\langle x,e_j\rangle
-
\left\langle \sum_{n=1}^N \langle x,e_n\rangle e_n,e_j\right\rangle \\
&=
\langle x,e_j\rangle
-
\sum_{n=1}^N \langle x,e_n\rangle \langle e_n,e_j\rangle \\
&=
\langle x,e_j\rangle-\langle x,e_j\rangle
=0.
\end{aligned}
(2)quad
y\in M_N を任意に取る．
すると
P_Nx-y\in M_N であるから，(1) より x-P_Nx \perp P_Nx-y が成り立つ．
さらに
x-y=(x-P_Nx)+(P_Nx-y) だから，Pythagoras の定理より
\|x-y\|^2
=
\|x-P_Nx\|^2+\|P_Nx-y\|^2
を得る．
特に第2項は非負だから
\|x-P_Nx\|\le \|x-y\| である．
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Besselの不等式.
\{e_n\}_{n=1}^{\infty} をHilbert空間 H の正規直交系とする．
このとき任意の x\in H と任意の N\in\NN に対して
\sum_{n=1}^N |\langle x,e_n\rangle|^2\le \|x\|^2
が成り立つ．
特に級数
\sum_{n=1}^{\infty} |\langle x,e_n\rangle|^2 は収束する．
直交射影の基本性質を y=0 に適用すると
\|x\|^2=\|x-P_Nx\|^2+\|P_Nx\|^2
を得る．
一方，\{e_1,\dots,e_N\} は正規直交族だから
\|P_Nx\|^2
=
\left\|
\sum_{n=1}^N \langle x,e_n\rangle e_n
\right\|^2
=
\sum_{n=1}^N |\langle x,e_n\rangle|^2
である． したがって
\sum_{n=1}^N |\langle x,e_n\rangle|^2
=
\|P_Nx\|^2
\le
\|x\|^2
である．
左辺は N に関して単調増加で上に有界だから収束する．
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CONSの特徴づけ.
\{e_n\}_{n=1}^{\infty} をHilbert空間 H の正規直交系とする．
このとき次は同値である．
-
\{e_n\}は CONS である -
任意の
x\in Hに対して\|x-P_Nx\|\to 0が成り立つ -
任意の
x\in Hに対して
\|x\|^2=\sum_{n=1}^{\infty}|\langle x,e_n\rangle|^2
が成り立つ
(1) \Rightarrow (2)quad
x\in H と \eps>0 を任意に取る．
CONS であることから，ある有限和
y=\sum_{n=1}^M a_n e_n が存在して \|x-y\|<\eps である．
N\ge M とすれば y\in M_N であるから，直交射影の基本性質より
\|x-P_Nx\|\le \|x-y\|<\eps である．
よって \|x-P_Nx\|\to 0 である．
(2) \Rightarrow (3)quad
Bessel の不等式の証明で得た等式
\|x\|^2=\|x-P_Nx\|^2+\sum_{n=1}^N |\langle x,e_n\rangle|^2
で N\to\infty とすれば，
\|x\|^2=\sum_{n=1}^{\infty}|\langle x,e_n\rangle|^2
を得る．
(3) \Rightarrow (2)quad
同じ等式に (3) を代入すると
\|x-P_Nx\|^2
=
\sum_{n=N+1}^{\infty}|\langle x,e_n\rangle|^2
\to 0
である．
したがって \|x-P_Nx\|\to 0 である．
(2) \Rightarrow (1)quad
各 P_Nx は
\operatorname{span}\{e_1,e_2,\dots\} に属する．
(2) より P_Nx\to x だから，
x はその閉包に属する．
x\in H は任意だから，この閉包は H 全体に一致する．
したがって \{e_n\} は CONS である．
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\RR^d の標準基底.
\RR^d の標準基底
e_1=(1,0,\dots,0),\dots,e_d=(0,\dots,0,1) は正規直交族であり，
その線形包は \RR^d 全体だから CONS である．
このとき
x=\sum_{k=1}^d \langle x,e_k\rangle e_k であり，
Parseval の等式は
\|x\|^2=\sum_{k=1}^d |x_k|^2 に他ならない．