13.2. 内積空間とHilbert空間
- No associated Lean code or declarations.
内積.
実ベクトル空間 H 上の写像 \langle \cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\RR が内積であるとは，任意の x,y,z\in H と任意の a\in\RR に対して
次を満たすことをいう．
-
\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle -
\langle ax,y\rangle=a\langle x,y\rangle -
\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle -
\langle x,x\rangle\ge 0かつ\langle x,x\rangle=0 \iff x=0
- No associated Lean code or declarations.
内積空間. 内積を備えた実ベクトル空間を内積空間という．
- No associated Lean code or declarations.
\RR^d の標準内積.
x=(x_1,\dots,x_d)，y=(y_1,\dots,y_d)\in\RR^d に対して
\langle x,y\rangle:=\sum_{k=1}^d x_k y_k と定めると，これは \RR^d 上の内積である．
- No associated Lean code or declarations.
Cauchy--Schwarzの不等式.
内積空間 H の任意の x,y\in H に対して
|\langle x,y\rangle|
\le
\sqrt{\langle x,x\rangle}\sqrt{\langle y,y\rangle}
が成り立つ．
y=0 のときは自明である．
以下では y\ne 0 とする．
任意の t\in\RR に対して
\langle x-ty,x-ty\rangle\ge 0 である．
これを展開すると
\langle x,x\rangle-2t\langle x,y\rangle+t^2\langle y,y\rangle\ge 0 を得る．
左辺は t の2次式であり，すべての t に対して非負だから判別式は 0 以下である．
したがって 4\langle x,y\rangle^2-4\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle\le 0，
すなわち \langle x,y\rangle^2\le \langle x,x\rangle\langle y,y\rangle が成り立つ．
両辺は非負だから平方根をとって結論を得る．
- No associated Lean code or declarations.
内積から誘導されるノルム.
内積空間 H に対して
\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle} とおくと，これは H 上のノルムである．
まず \|x\|=0 \iff \langle x,x\rangle=0 \iff x=0 である．
次に
\|ax\|^2=\langle ax,ax\rangle=a^2\langle x,x\rangle=|a|^2\|x\|^2 だから
\|ax\|=|a|\,\|x\| である．
最後に
\begin{aligned}
\|x+y\|^2
&=
\langle x+y,x+y\rangle \\
&=
\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2 \\
&\le
\|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2 \\
&=
(\|x\|+\|y\|)^2
\end{aligned}
である． 両辺は非負だから平方根をとって
\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|
を得る．
- No associated Lean code or declarations.
Pythagorasの定理.
内積空間 H の x,y\in H が
\langle x,y\rangle=0 を満たすとする．
このとき
\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2
が成り立つ．
\|x+y\|^2
=
\langle x+y,x+y\rangle
=
\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle
=
\|x\|^2+\|y\|^2
である．
- No associated Lean code or declarations.
Hilbert空間.
内積空間 H が，
上の内積から誘導されるノルムに関して完備であるとき，
H をHilbert空間という．
- No associated Lean code or declarations.
\RR^d は標準内積に関してHilbert空間である．
実際，誘導されるノルムは
\|x\|=\left(\sum_{k=1}^d |x_k|^2\right)^{1/2} であり，前章で \RR^d はこのノルムに関して完備であることを示した．