13.1. 動機づけ🔗

ノルムだけでは，ベクトルの長さは分かっても， 2つのベクトルがどれくらい「直交しているか」は分からない． しかし実際には \text{最小二乗法}，\text{Fourier級数}，\text{エネルギー評価} のように，直交が本質的な役割を果たす場面が多い．

例えば L^2([0,1],\lambda) の関数 f を 1,\cos(2\pi x),\sin(2\pi x),\dots のような基本関数で展開したいとき， 係数は \int_0^1 f(x)\cos(2\pi nx)\,dx や \int_0^1 f(x)\sin(2\pi nx)\,dx で与えられる． これらは単なる積分ではなく， 関数 f と基本関数との「内積」になっている．

この考え方を抽象化したのがHilbert空間である．