13. Hilbert空間🔗

本章の目標 前章では，関数の大きさを測るノルムを導入し， L^p 空間や C(X) がBanach空間になることを見た． その中でも p=2 の場合は特別である． このときノルムは内積から作られ， 長さだけでなく角度や直交も扱えるようになる．

本章では

• 内積空間・Hilbert空間の定義

• Cauchy--Schwarz の不等式と内積から誘導されるノルム

• L^2(X) がHilbert空間になること

• 正規直交系，Fourier係数，Bessel の不等式，Parseval の等式

• Fourier関数系という典型例

を説明する．

1. 13.1. 動機づけ
2. 13.2. 内積空間とHilbert空間
3. 13.3. L^2(X) はHilbert空間
4. 13.4. 正規直交系と直交射影
5. 13.5. Fourier関数系
6. 13.6. 解釈とまとめ