12.7. 解釈とまとめ🔗

Banach空間の本質は， 「極限を取っても空間の外へ出ない」 という点にある． 有限次元の \RR^d ではこれは座標ごとに従ったが， 関数空間では積分論が必要になった．

本章で得た代表的なBanach空間は次の2つである．

• コンパクト空間上の連続関数空間 C(X)，\|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f(x)|

• 測度空間上の可積分関数空間 L^p(X)，\|f\|_p=\left(\int_X |f|^p\,d\mu\right)^{1/p}

特に L^p 空間では， Hölder の不等式と Minkowski の不等式が 積や和の計算を支え， Riesz--Fischer の定理が完備性を保証した． 次章では p=2 の場合をさらに詳しく見て， 角度や直交が使えるHilbert空間へ進む．