\{f_n\}_{n=1}^{\infty} を L^p(X) のCauchy列とする． 各 f_n の代表元を同じ記号で表す．

\{f_n\} はCauchy列だから， 部分列 \{f_{n_k}\} を \|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p<2^{-k} (k\in\NN) となるように取れる． 各 k に対して g_k:=|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| とおく． すると g_k\in L^p(X) である．

さらに s_N:=\sum_{k=1}^N g_k とおくと，Minkowski の不等式より

\|s_N\|_p \le \sum_{k=1}^N \|g_k\|_p < \sum_{k=1}^{\infty}2^{-k} =1

である． したがって \int_X s_N^p\,d\mu=\|s_N\|_p^p\le 1 である．

s_N は単調増加する非負可測関数列であるから s(x):=\sum_{k=1}^{\infty}g_k(x) とおくと， 単調収束定理より

\int_X s^p\,d\mu = \lim_{N\to\infty}\int_X s_N^p\,d\mu \le 1.

よって s\in L^p(X) であり，特に s(x)<\infty a.e. on X である．

この零集合を除いた各点 x に対して， 任意の m>\ell について |f_{n_m}(x)-f_{n_\ell}(x)|\le \sum_{k=\ell}^{m-1}g_k(x) が成り立つ． 右辺は \ell\to\infty で 0 に収束するから， \{f_{n_k}(x)\} は a.e. でCauchy列である． したがってある可測関数 f が存在して f_{n_k}(x)\to f(x) a.e. on X となる．

次にこの f が L^p 極限であることを示す． 各 \ell に対して t_\ell:=\sum_{k=\ell}^{\infty}g_k=s-\sum_{k=1}^{\ell-1}g_k とおくと， |f-f_{n_\ell}|\le t_\ell a.e. である． また

\|t_\ell\|_p \le \sum_{k=\ell}^{\infty}\|g_k\|_p \le \sum_{k=\ell}^{\infty}2^{-k} \to 0

が Minkowski の不等式から従う． したがって単調性より \|f-f_{n_\ell}\|_p\le \|t_\ell\|_p\to 0 である． 特に f\in L^p(X) であり，f_{n_\ell}\to f が L^p で成り立つ．

最後に元の列全体が f に収束することを示す． \eps>0 を与える． \{f_n\} はCauchy列だから，ある N_1 が存在して n,m\ge N_1 \implies \|f_n-f_m\|_p<\eps/2 である． また部分列 f_{n_k}\to f だから，ある k が存在して n_k\ge N_1，\|f_{n_k}-f\|_p<\eps/2 となる． すると n\ge N_1 に対して

\|f_n-f\|_p \le \|f_n-f_{n_k}\|_p+\|f_{n_k}-f\|_p < \frac{\eps}{2}+\frac{\eps}{2} =\eps.

よって f_n\to f が L^p(X) で成り立つ． したがって L^p(X) は完備である．