a=0 のときは自明であるから a>0 とする． \phi(t):=at-t^q/q (t\ge 0) とおくと \phi'(t)=a-t^{q-1} である． したがって \phi は t=a^{1/(q-1)}=a^{p-1} で最大値をとる． そこで

\begin{aligned} \phi(t) &\le \phi(a^{p-1}) \\ &= a\cdot a^{p-1}-\frac{(a^{p-1})^q}{q} \\ &= a^p-\frac{a^p}{q} =\frac{a^p}{p}. \end{aligned}

t=b とおけば ab-b^q/q\le a^p/p，すなわち ab\le a^p/p+b^q/q を得る．

\|f\|_p=0 または \|g\|_q=0 のときは右辺が 0 であり， 第9章の「積分が 0 であることの判定」より f=0 a.e. または g=0 a.e. だから自明である．

以下では \|f\|_p>0，\|g\|_q>0 とする． Young の不等式を a=|f(x)|/\|f\|_p，b=|g(x)|/\|g\|_q に適用すると，a.e. で

\frac{|f(x)g(x)|}{\|f\|_p\|g\|_q} \le \frac{|f(x)|^p}{p\|f\|_p^p} +\frac{|g(x)|^q}{q\|g\|_q^q}

を得る． 両辺を積分すると

\begin{aligned} \frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q}\int_X |fg|\,d\mu &\le \frac{1}{p\|f\|_p^p}\int_X |f|^p\,d\mu + \frac{1}{q\|g\|_q^q}\int_X |g|^q\,d\mu \\ &= \frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1. \end{aligned}

したがって

\int_X |fg|\,d\mu\le \|f\|_p\|g\|_q.

特に左辺は有限だから fg\in L^1(X) である．

まず p=1 のときは |f+g|\le |f|+|g| を積分すれば

\|f+g\|_1 = \int_X |f+g|\,d\mu \le \int_X |f|\,d\mu+\int_X |g|\,d\mu = \|f\|_1+\|g\|_1

である．

以下では 1<p<\infty とする． q を共役指数とする． \|f+g\|_p=0 のときは自明だから， \|f+g\|_p>0 と仮定する． すると

\begin{aligned} \|f+g\|_p^p &= \int_X |f+g|^p\,d\mu \\ &= \int_X |f+g|\,|f+g|^{p-1}\,d\mu \\ &\le \int_X |f|\,|f+g|^{p-1}\,d\mu + \int_X |g|\,|f+g|^{p-1}\,d\mu. \end{aligned}

ここで \bigl(|f+g|^{p-1}\bigr)^q=|f+g|^p であるから，Hölder の不等式より

\begin{aligned} \int_X |f|\,|f+g|^{p-1}\,d\mu &\le \|f\|_p \left( \int_X |f+g|^p\,d\mu \right)^{1/q} \\ &= \|f\|_p \|f+g\|_p^{p-1}, \end{aligned}

同様に

\int_X |g|\,|f+g|^{p-1}\,d\mu \le \|g\|_p \|f+g\|_p^{p-1}.

したがって

\|f+g\|_p^p \le (\|f\|_p+\|g\|_p)\|f+g\|_p^{p-1}.

\|f+g\|_p>0 だから両辺を \|f+g\|_p^{p-1} で割って

\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p

を得る．

非負性は自明である． また

\|af\|_p^p = \int_X |a|^p|f|^p\,d\mu = |a|^p\|f\|_p^p

だから \|af\|_p=|a|\,\|f\|_p である．

さらに \|f\|_p=0 なら \int_X |f|^p\,d\mu=0 であり，第9章の「積分が 0 であることの判定」より |f|^p=0 a.e. だから f=0 a.e. である． すなわち L^p の元として f=0 である． 逆向きは明らかである．

最後に三角不等式は Minkowski の不等式である． したがって \|\cdot\|_p はノルムである．