12.4. L^p(X) 空間
以後，測度空間 (X,\calM,\mu) と 1\le p<\infty を固定する．
- No associated Lean code or declarations.
可測関数 f:X\to\RR で
\int_X |f|^p\,d\mu<\infty を満たすもの全体を \calL^p(X) と書く．
Remark.
f と g が a.e. で一致するなら，
第8章と第9章の a.e. 不変性より
\int_X |f|^p\,d\mu=\int_X |g|^p\,d\mu である．
したがって L^p では，関数を点ごとにではなく
「a.e. の違いを無視した同値類」として扱うのが自然である．
- No associated Lean code or declarations.
L^p(X).
\calL^p(X) の上に f\sim g \iff f=g \quad \text{a.e.\ on } X という同値関係を入れる．
この同値類全体を L^p(X) と書く．
- No associated Lean code or declarations.
L^p ノルム.
f\in L^p(X) に対して
\|f\|_p:=\left(\int_X |f|^p\,d\mu\right)^{1/p} と定める．
Remark.
厳密には f は同値類であるが，
記号が煩雑になるのを避けるため，
代表元も同じ記号 f で書く．
上の量が代表元の取り方によらないことは a.e. 不変性から従う．
- No associated Lean code or declarations.
L^p(X) は実ベクトル空間である．
f,g\in L^p(X) と a,b\in\RR を取る．
可測性は第7章で示した和とスカラー倍の可測性から従う．
また任意の実数 u,v に対して
|u+v|^p\le (|u|+|v|)^p\le 2^{p-1}(|u|^p+|v|^p) が成り立つから，
|af+bg|^p
\le
2^{p-1}\bigl(|a|^p|f|^p+|b|^p|g|^p\bigr)
である．
右辺は可積分であるから
\int_X |af+bg|^p\,d\mu<\infty を得る．
よって af+bg\in \calL^p(X) である．
さらに f\sim f'，g\sim g' なら
af+bg=af'+bg' a.e. だから，演算は同値類上でもwell-definedである．
したがって L^p(X) は実ベクトル空間である．
- No associated Lean code or declarations.
X=(0,1]，\lambda をLebesgue測度とし，
f(x):=x^{-1/2} とおく．
すると
\int_0^1 |f(x)|\,dx=\int_0^1 x^{-1/2}\,dx=2<\infty だから
f\in L^1((0,1],\lambda) である．
しかし
\int_0^1 |f(x)|^2\,dx=\int_0^1 x^{-1}\,dx=\infty だから
f\notin L^2((0,1],\lambda) である．
このように，p が変わると空間も変わる．