12.3. C(X) と sup-norm
以後，X をコンパクト距離空間とする．
- No associated Lean code or declarations.
連続関数空間.
C(X):=\{f:X\to\RR \mid f \text{ は連続}\} とおく．
- No associated Lean code or declarations.
sup-norm.
f\in C(X) に対して \|f\|_\infty:=\sup_{x\in X}|f(x)| と定める．
Remark.
X がコンパクトで f が連続なら，最大値の定理より |f| は X 上で最大値をとる．
したがって \|f\|_\infty<\infty である．
X のコンパクト性は，sup-norm を考えるうえで重要である．
- No associated Lean code or declarations.
\|\cdot\|_\infty は C(X) 上のノルムである．
まず \|f\|_\infty\ge 0 であり，\|f\|_\infty=0 なら
|f(x)|\le \|f\|_\infty=0 が任意の x\in X で成り立つから f=0 である．
次に任意の a\in\RR に対して
\|af\|_\infty=\sup_{x\in X}|a||f(x)|=|a|\,\|f\|_\infty である．
最後に任意の x\in X に対して
|f(x)+g(x)|\le |f(x)|+|g(x)| だから，上限をとれば
\|f+g\|_\infty\le \|f\|_\infty+\|g\|_\infty を得る．
- No associated Lean code or declarations.
一様極限の連続性.
f_n\in C(X) が \|f_n-f\|_\infty\to 0 を満たすとする．
このとき f は連続である．
x_0\in X を任意に取る．
\eps>0 を与える．
\|f_n-f\|_\infty\to 0 だから，ある N が存在して
\|f_N-f\|_\infty<\eps/3 である．
f_N は連続だから，ある \delta>0 が存在して
d(x,x_0)<\delta \implies |f_N(x)-f_N(x_0)|<\eps/3 が成り立つ．
したがって d(x,x_0)<\delta なら
\begin{aligned}
|f(x)-f(x_0)|
&\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|\\
&< \frac{\eps}{3}+\frac{\eps}{3}+\frac{\eps}{3}
=\eps.
\end{aligned}
よって f は x_0 で連続である．
x_0 は任意だから，f は X 上連続である．
- No associated Lean code or declarations.
(C(X),\|\cdot\|_\infty) はBanach空間である．
\{f_n\}_{n=1}^{\infty} を C(X) のCauchy列とする．
すると任意の \eps>0 に対して，ある N が存在して
m,n\ge N \implies \|f_n-f_m\|_\infty<\eps である．
各 x\in X を固定すると
|f_n(x)-f_m(x)|\le \|f_n-f_m\|_\infty だから，実数列 \{f_n(x)\} はCauchy列である．
ゆえに極限 f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x) が存在する．
こうして写像 f:X\to\RR が定まる．
次に f_n\to f が sup-norm で成り立つことを示す．
\eps>0 を与え，上のCauchy条件を満たす N を取る．
n\ge N とし，任意の x\in X に対して m\to\infty とすると
|f_n(x)-f(x)|
=
\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|
\le \eps
を得る．
したがって
\|f_n-f\|_\infty\le \eps (n\ge N) であり，\|f_n-f\|_\infty\to 0 が従う．
最後に補題より，f は連続である．
よって f\in C(X) であり，\{f_n\} は C(X) の元に収束する．
したがって C(X) は完備である．
- No associated Lean code or declarations.
X=[a,b] とすると，C([a,b]) は sup-norm に関してBanach空間である．
これは微分方程式や積分方程式で最もよく現れる関数空間の1つである．