12.2. ノルム空間とBanach空間
- No associated Lean code or declarations.
ノルム.
実ベクトル空間 X 上の写像 \|\cdot\|:X\to [0,\infty) がノルムであるとは，任意の x,y\in X と任意の a\in\RR に対して
次を満たすことをいう．
-
\|x\|=0 \iff x=0 -
\|ax\|=|a|\,\|x\| -
\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|
- No associated Lean code or declarations.
ノルム空間.
実ベクトル空間 X とその上のノルム \|\cdot\| の組 (X,\|\cdot\|) をノルム空間という．
Remark.
ノルムが与えられると，
d(x,y):=\|x-y\| によって距離が定まる．
したがってノルム空間では，点列の収束やCauchy列を距離空間と同様に定義できる．
- No associated Lean code or declarations.
Banach空間.
ノルム空間 X がBanach空間であるとは，
X の任意のCauchy列が X の元に収束することをいう．
- No associated Lean code or declarations.
\RR^d の p-ノルム.
x=(x_1,\dots,x_d)\in\RR^d に対し，
1\le p<\infty のとき \|x\|_p:=\left(\sum_{k=1}^d |x_k|^p\right)^{1/p}，また \|x\|_\infty:=\max_{1\le k\le d}|x_k| と定める．
これらは \RR^d 上のノルムである．
- No associated Lean code or declarations.
1\le p\le\infty に対して，(\RR^d,\|\cdot\|_p) はBanach空間である．
\{x^{(n)}\}_{n=1}^{\infty} を \RR^d のCauchy列とし，
x^{(n)}=(x_1^{(n)},\dots,x_d^{(n)}) と書く．
各成分 k=1,\dots,d に対して
|x_k^{(n)}-x_k^{(m)}|\le \|x^{(n)}-x^{(m)}\|_p が成り立つ．
したがって各実数列 \{x_k^{(n)}\}_{n=1}^{\infty} は \RR でCauchy列であり，
\RR の完備性より極限 x_k:=\lim_{n\to\infty}x_k^{(n)} が存在する．
x:=(x_1,\dots,x_d)\in\RR^d とおく．
1\le p<\infty のとき
\|x^{(n)}-x\|_p^p
=
\sum_{k=1}^d |x_k^{(n)}-x_k|^p
\to 0
である．
実際，和は有限個しかないので，各項が 0 に収束すれば和も 0 に収束する．
また p=\infty のときは，各 k について
|x_k^{(n)}-x_k|\to 0 であるから，有限個の実数の最大値も 0 に収束して
\|x^{(n)}-x\|_\infty
=
\max_{1\le k\le d}|x_k^{(n)}-x_k|
\to 0
を得る．
よって \{x^{(n)}\} は x\in\RR^d に収束する．
したがって \RR^d は完備である．
Remark. 有限次元空間では，各成分ごとに議論できるため， 完備性の証明は比較的素朴である． しかし関数空間では成分が有限個ではないので， 完備性は自明ではない． この違いが有限次元と無限次元の大きな分かれ目である．