12.1. 動機づけ🔗

微分積分では，1つ1つの関数を個別に扱ってきた． しかし関数解析では， \text{連続関数全体}，\text{可積分関数全体}，\text{二乗可積分関数全体} のような「関数の集まり」自体を対象にする．

そのとき最初に必要になるのは， 関数の大きさや2つの関数の近さを測る道具である． 例えば連続関数 f,g に対して \sup_{x\in X}|f(x)-g(x)| が小さければ，f と g はどの点でも一様に近いと言える． また可積分関数に対して \left(\int_X |f-g|^p\,d\mu\right)^{1/p} が小さければ，平均的な意味で近いと言える．

この「大きさ」を抽象化したものがノルムであり， そのノルムに関して極限が取り尽くされている空間がBanach空間である． Lebesgue積分論の収束定理は， まさにこうした完備な関数空間の上で本領を発揮する．