12. Banach空間🔗

本章の目標 ここまでで，Lebesgue積分によって関数を積分し， 収束定理によって極限と積分の交換も扱えるようになった． 次の段階では，関数そのものを「点」とみなし， 関数全体の集まりを1つの空間として考える． その基本概念がノルム空間とBanach空間である．

本章では

• ノルム空間・Banach空間の定義

• 有限次元空間 \RR^d の例

• 連続関数空間 C(X) が sup-norm で Banach 空間になること

• 測度空間上の L^p(X) の定義

• Hölder の不等式，Minkowski の不等式，Riesz--Fischer の定理

を証明する．

1. 12.1. 動機づけ
2. 12.2. ノルム空間とBanach空間
3. 12.3. C(X) と sup-norm
4. 12.4. L^p(X) 空間
5. 12.5. Hölderの不等式とMinkowskiの不等式
6. 12.6. Riesz--Fischerの定理
7. 12.7. 解釈とまとめ