10.7. 解釈とまとめ🔗

本章の主役は，極限と積分の交換である． 結論だけを並べると次のようになる．

• f_n \uparrow f なら \int f_n \to \int f

• 一般の非負列では \int \liminf f_n \le \liminf \int f_n

• |f_n|\le g\in\calL^1(X) なら \int f_n \to \int f

• 有限測度空間では，一様有界性だけで優関数を作れる

この4つの定理により，\lim，\sum，d/dt，\int の交換が厳密に扱えるようになった． これが測度空間上の積分論の最重要部分であり， 確率論・偏微分方程式・Fourier解析・関数解析へ進むための基礎になる．