8.8. 解釈とまとめ🔗

測度空間上の積分では，まず S^+(X) に属する単関数から積分を定め， 次に M^+(X) の元へ拡張し，最後に \calL^1(X) を取り出した． したがってこの積分の本質は， 関数値そのものよりも「その値をとる領域の大きさ」を正確に足し合わせることにある．

特に本章で得た重要な事実は次の通りである．

• Dirichlet関数はLebesgue積分でき，積分値は 0 である

• f\in\calL^1(X) であることと |f|\in\calL^1(X) であることは同値である

• 可積分関数は零集合上で値を変えても積分値が変わらない

• Riemann可積分関数はすべてLebesgue可積分である

次章では，この積分を実際に計算で運用するための基本公式 \int(f+g)，\int cf，\int |f|，\int_X f を体系的に整理する．