Lebesgue積分講義ノート

8.7. Riemann積分との関係🔗

Remark (積分区間の向き). Lebesgue積分 \int_A f\,d\lambda は可測集合 A 上の積分であり，積分区間の向きは含まない． 例えば [0,1] 上では \int_{[0,1]} f\,d\lambda が定義されるが， Riemann積分の記法 \int_1^0 f(x)\,dx をどう定義するかは別の約束である． 向きつきの約束では \int_1^0 f(x)\,dx=-\int_0^1 f(x)\,dx とすることが多いが， この符号はLebesgue測度から来るものではない． Lebesgue積分で逆向きを表したいなら，別途 -\int_{[0,1]}f\,d\lambda と符号を付ける． また，空区間として扱う約束なら積分値は 0 になるが，これも向きではなく積分する集合の選び方である．

したがって以下の「Riemann積分値との一致」は， 集合としての有界閉区間 I 上の通常のRiemann積分値との一致を意味する． この違いは，後の変数変換公式でJacobianの絶対値が現れることとも関係している．

Theorem8.7.1
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Proposition 8.3.3
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Riemann可積分ならLebesgue可積分. I \subset \RR^d を有界閉区間とし， f:I \to \RR をRiemann可積分関数とする． このとき f はLebesgue可測かつLebesgue可積分であり，\int_I f\,d\lambda はRiemann積分値に一致する．

Lean code for Theorem8.7.1●1 theorem
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    theorem NoteKsk.Chapter08.boxRiemann_integrableOn_and_integral_eq_of_bounded_aeContinuous.{u_1}
  {ι : Type u_1} [Fintype ι] {I : BoxIntegral.Box ι} {f : (ι → ℝ) → ℝ}
  (hb : ∃ C, ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C)
  (hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ), ContinuousAt f x) :
  MeasureTheory.IntegrableOn f (↑I) MeasureTheory.volume ∧
    BoxIntegral.integral I BoxIntegral.IntegrationParams.Riemann f
        BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume =
      ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x
    theorem NoteKsk.Chapter08.boxRiemann_integrableOn_and_integral_eq_of_bounded_aeContinuous.{u_1}
  {ι : Type u_1} [Fintype ι]
  {I : BoxIntegral.Box ι}
  {f : (ι → ℝ) → ℝ}
  (hb :
    ∃ C,
      ∀ x ∈ BoxIntegral.Box.Icc I,
        ‖f x‖ ≤ C)
  (hc :
    ∀ᵐ (x : ι → ℝ), ContinuousAt f x) :
  MeasureTheory.IntegrableOn f (↑I)
      MeasureTheory.volume ∧
    BoxIntegral.integral I
        BoxIntegral.IntegrationParams.Riemann
        f
        BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume =
      ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x
    Bounded a.e.-continuous functions on a rectangular box are Lebesgue integrable,
and mathlib's Riemann `BoxIntegral` has the same value as the Lebesgue integral.

This theorem deliberately uses mathlib's box-integral API,
`BoxIntegral.IntegrationParams.Riemann` and `BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume`.
It is not a theorem about the Chapter 01 lecture definitions
`Chapter01.RiemannIntegrableOn` or `Chapter01.riemannIntegral`.
Proof for Theorem 8.7.1
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Riemann可積分性より，任意の n \in \NN に対して 分割 \calP_n が存在して U(f,\calP_n)-L(f,\calP_n)<1/n となる． この分割の各小区間を R_{n,1},\dots,R_{n,N_n} と書き， 各小区間上の下限と上限を \ell_{n,j}:=\inf_{x \in R_{n,j}} f(x)，u_{n,j}:=\sup_{x \in R_{n,j}} f(x) とおく． すると \phi_n:=\sum_{j=1}^{N_n} \ell_{n,j}1_{R_{n,j}}， \psi_n:=\sum_{j=1}^{N_n} u_{n,j}1_{R_{n,j}} は単関数で，\phi_n \le f \le \psi_n が成り立つ． さらに \int_I \phi_n\,d\lambda = L(f,\calP_n)，\int_I \psi_n\,d\lambda = U(f,\calP_n) である．

ここで g:=\sup_{n\in\NN}\phi_n，h:=\inf_{n\in\NN}\psi_n とおく． 単関数は可測だから g,h は可測であり，g \le f \le h である． しかも各 n に対して 0 \le h-g \le \psi_n-\phi_n だから単調性より

0 \le \int_I (h-g)\,d\lambda \le \int_I (\psi_n-\phi_n)\,d\lambda =U(f,\calP_n)-L(f,\calP_n) <\frac1n.

したがって \int_I (h-g)\,d\lambda=0 であり，非負関数の積分が 0 であることの判定より h-g=0 a.e. on I である． 特に N:=\{x \in I \mid g(x)<h(x)\} は零集合であり，I\setminus N 上では f=g=h である．

よって f は可測であることを示す． 実数 a に対して

\{x \in I \mid f(x)>a\} =\bigl(\{g>a\}\cap(I\setminus N)\bigr)\cup\bigl(\{f>a\}\cap N\bigr)

と書ける． g は可測，N は零集合だから可測であり， しかもLebesgue測度の完備性より N の任意の部分集合は可測である． したがって右辺は可測である． ゆえに f はLebesgue可測である．

次に可積分性を示す． Riemann可積分関数は有界だから，ある M>0 が存在して |f(x)|\le M (x \in I) である．したがって |f|\le M1_I である． I は有界閉区間なので \int_I M1_I\,d\lambda = M\,\lambda(I)=M|I|<\infty である． よってCorollary 8.4.5より f はLebesgue可積分である．

最後に積分値の一致を示す． 各 n に対して \phi_n \le f \le \psi_n だから単調性より

L(f,\calP_n)=\int_I \phi_n\,d\lambda \le \int_I f\,d\lambda \le \int_I \psi_n\,d\lambda=U(f,\calP_n).

Riemann可積分性より U(f,\calP_n)-L(f,\calP_n)\to 0 である． したがってはさみうちにより \int_I f\,d\lambda=\lim_{n\to\infty}L(f,\calP_n)=\lim_{n\to\infty}U(f,\calP_n) である． これはRiemann積分値そのものである．

Remark. この定理により，Lebesgue積分はRiemann積分の拡張になっている． ただし本質は，単に対象が増えただけではなく， 零集合と極限に関してはるかに安定な理論になっている点にある．

Remark (不連続点集合による十分条件). 有界閉区間上の有界関数については， 不連続点全体がLebesgue零集合であればRiemann可積分であり， そのRiemann積分値はLebesgue積分値と一致する． したがって実用上は， 「有界かつ a.e. 連続な関数はLebesgue可積分で，通常のRiemann積分値と同じ値をもつ」 と考えてよい． これは特に，有限個または可算個の不連続点しかもたない有界関数を扱うときに便利である．

Proposition8.7.2
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Tagsexample

広義Riemann積分可能だがLebesgue積分可能でない関数. f(x):=\sin x/x (x \ge 1) を考える． このとき \int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx は広義Riemann積分として収束するが， f はLebesgue可積分ではない．

Proof for Proposition 8.7.2
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まず広義Riemann積分の収束を示す． 1<R<\infty に対して部分積分を行うと

\int_1^R \frac{\sin x}{x}\,dx =\left[-\frac{\cos x}{x}\right]_{x=1}^{x=R} -\int_1^R \frac{\cos x}{x^2}\,dx.

右辺第1項は R\to\infty で極限をもち， 第2項は

\int_1^{\infty}\frac{|\cos x|}{x^2}\,dx \le \int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx <\infty

だから収束する． よって \int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx は広義Riemann積分として収束する．

次にLebesgue可積分でないことを示す． 各 k \in \NN に対して I_k:=[k\pi+\pi/6,\ k\pi+5\pi/6] とおくと，x \in I_k では |\sin x|\ge 1/2 である． したがって

\int_1^{\infty}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge \sum_{k=1}^{\infty}\int_{I_k}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge \frac12\sum_{k=1}^{\infty}\int_{I_k}\frac{1}{x}\,dx \ge \frac{\pi}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\pi+\frac{5\pi}{6}}.

右辺は調和級数と同程度に発散するから \int_1^{\infty}\frac{|\sin x|}{x}\,dx=\infty である． よって \sin x/x はLebesgue可積分ではない．