8.6. 具体例
Proposition8.6.1
uses 0used by 0XL∃∀N
Lean status
- No associated Lean code or declarations.
Dirichlet関数.
f:=1_{\QQ \cap [0,1]} とする．このとき \int_{[0,1]} f\,d\lambda=0 である．
Proof for Proposition 8.6.1
uses 0
高々可算集合はLebesgue零集合なので， \lambda(\QQ \cap [0,1])=0 である．
したがって \int_{[0,1]} f\,d\lambda=\int_{[0,1]} 1_{\QQ \cap [0,1]}\,d\lambda=\lambda(\QQ \cap [0,1])=0 である．
Remark.
Dirichlet関数はRiemann積分できなかったが，Lebesgue積分では 0 と自然に積分できる．
ここに，Lebesgue積分が
「どこで値をとるか」と「その領域の面積」を直接結びつけていることが表れている．
Proposition8.6.2
uses 0used by 0XL∃∀N
Lean status
- No associated Lean code or declarations.
g:=1_{[0,1]\setminus \QQ} とすると g=1 a.e. on [0,1] だから
\int_{[0,1]} g\,d\lambda=1 である．
Proof for Proposition 8.6.2
uses 0
N:=\QQ \cap [0,1] は零集合であり，[0,1]\setminus N 上で g=1_{[0,1]\setminus N}=1 である．
したがって a.e. 不変性より \int_{[0,1]} g\,d\lambda=\int_{[0,1]} 1\,d\lambda=\lambda([0,1])=1 である．