7.9. 解釈とまとめ🔗

可測関数空間 M(X) の元とは，Theorem 7.3.4で見たように \{f>a\} のようなレベル集合が可測である関数であった． つまり，関数の値そのものより， その値をとる領域の幾何学が測度で追えることが本質である．

本章で得た重要な事実は次の通りである．

• 連続関数と指示関数は可測である

• M(X;\RR) は和・積・逆数・合成で閉じている（cor:measurable-algebra-operations,prop:measurable-reciprocal）

• M(X) は \sup,\inf,\limsup,\liminf,\lim で閉じている（prop:measurable-countable-sup-inf,prop:measurable-limsup-liminf）

• 完備な測度空間では，零集合上で値を変えても可測性は変わらない（Proposition 7.7.3）

次章では，Lebesgue可測関数に対してLebesgue積分を定義する． その出発点は，

\text{指示関数} \to \text{単関数} \to \text{一般の可測関数}

という拡張である．