7.4. 基本例🔗

Proposition7.4.1

uses 1used by 1✓L∃∀N

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連続関数. (X,\calO) を位相空間とし，\calB(X):=\sigma(\calO) とする．連続関数 f:X\to\RR はBorel可測である．

Lean code for Proposition7.4.1●1 theorem

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theorem NoteKsk.Chapter07.continuous_borelMeasurable.{u_1, u_2} {α : Type u_1}
  {β : Type u_2} [TopologicalSpace α] [MeasurableSpace α] [BorelSpace α]
  [TopologicalSpace β] [MeasurableSpace β] [BorelSpace β] {f : α → β}
  (hf : Continuous f) : Measurable f

theorem NoteKsk.Chapter07.continuous_borelMeasurable.{u_1,
    u_2}
  {α : Type u_1} {β : Type u_2}
  [TopologicalSpace α] [MeasurableSpace α]
  [BorelSpace α] [TopologicalSpace β]
  [MeasurableSpace β] [BorelSpace β]
  {f : α → β} (hf : Continuous f) :
  Measurable f

Proof for Proposition 7.4.1

uses 0

\RR には通常の位相を入れる．連続性より，任意の開集合 U\subset\RR に対して f^{-1}(U)\in\calO である．したがって

f^{-1}(\calO(\RR))\subset\calB(X)

である．ここで \calO(\RR) は \RR の開集合全体を表す． Lemma 7.2.5より

f^{-1}(\calB(\RR)) =f^{-1}(\sigma(\calO(\RR))) =\sigma(f^{-1}(\calO(\RR))) \subset\calB(X)

である．よって f:(X,\calB(X))\to(\RR,\calB(\RR)) は可測写像であり， f はBorel可測である．

Proposition7.4.2

uses 1used by 0✓L∃∀N

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指示関数. (X,\calM) を可測空間とする． A \in \calM なら 1_A\in M(X;\RR) である．

Lean code for Proposition7.4.2●1 theorem

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theorem NoteKsk.Chapter07.indicator_measurable.{u_1} {α : Type u_1}
  [MeasurableSpace α] {A : Set α} (hA : MeasurableSet A) :
  Measurable (A.indicator fun x ↦ 1)

theorem NoteKsk.Chapter07.indicator_measurable.{u_1}
  {α : Type u_1} [MeasurableSpace α]
  {A : Set α} (hA : MeasurableSet A) :
  Measurable (A.indicator fun x ↦ 1)

Proof for Proposition 7.4.2

uses 0

任意の a\in\RR に対して

\{1_A>a\} = \begin{cases} \emptyset & (a\ge 1),\\ A & (0\le a<1),\\ X & (a<0). \end{cases}

いずれも可測だから，Theorem 7.3.4より 1_A は可測である．

Proposition7.4.3

uses 0used by 0XL∃∀N

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Dirichlet関数. f=1_{\QQ\cap[0,1]}

は [0,1] 上Lebesgue可測である．

Proof for Proposition 7.4.3

uses 0

既に見た通り \QQ\cap[0,1] はLebesgue可測である．したがってProposition 7.4.2を ([0,1],\calL_1([0,1])) に適用すれば，f は可測である．

Remark. Dirichlet関数はRiemann積分できなかったが， Lebesgue積分論ではまず「可測である」ことが分かる．積分できるかどうかは次章で考える．