6.8. まとめ🔗

本章では，Lebesgue流の測度論をCarathéodory流の一般論として捉え直した． 内測度を使って定義したLebesgue可測性は， Corollary 5.4.5により Lebesgue外測度に関するCarathéodory可測性と一致する． この観点では，可測集合とは外測度を内側と外側に正しく分割する集合であり， Theorem 6.3.3により，その全体は自然に \sigma-加法族をなす．

また，半加法族上の前測度から誘導外測度を作り， Carathéodory可測集合へ制限することで測度を得る手順を見た． Theorem 6.5.3は， 区間の体積からLebesgue測度を作る構成が， 一般の測度構成の一例であることを説明している． この枠組みでは，数え上げ測度やDirac測度も同じ「可測空間上の測度」として扱える．

Borel集合族は位相から生成される標準的な \sigma-加法族であり， Lebesgue測度はBorel測度の完備化として得られる． 一方で，Vitali集合やBanach--Tarskiのパラドックスが示すように， 可算加法性，平行移動不変性，通常の体積との整合性を保ったまま すべての部分集合を測ることはできない． これで，Lebesgue積分を支える測度論の土台は一段落する．