5.5. まとめ🔗

本章では，Lebesgue流の定義（内測度と外測度の一致）に沿ってLebesgue可測集合とLebesgue測度の基本性質を確立した．

• Lebesgue可測集合全体 \calL_d は \RR^d 上の \sigma-加法族である （Theorem 5.2.2.2）．

• Lebesgue可測性は，Lebesgue外測度 \lambda^* に関する Carathéodory可測性と同値である （Corollary 5.4.5）．

• Lebesgue測度 \lambda:\calL_d\to[0,\infty] は \lambda(\emptyset)=0 と完全加法性を満たす． したがって \lambda は (\RR^d,\calL_d) 上の完全加法的測度である （prop:lebesgue-measure-nonnegative,thm:lebesgue-measure-countable-additivity）．

• Lebesgue測度は単調列に関して連続である．すなわち， 下から増大する可測集合列では和集合の測度が測度の極限に等しく， 上から減少する可測集合列では最初の集合の測度が有限であれば 共通部分の測度が測度の極限に等しい （thm:lebesgue-measure-continuity-from-below,thm:lebesgue-measure-continuity-from-above）．

• Lebesgue測度は平行移動不変である．すなわち A\in\calL_d と c\in\RR^d に対して A+c\in\calL_d であり， \lambda(A+c)=\lambda(A) である （Proposition 5.3.9）．

• Lebesgue測度は完備である．実際，\lambda(N)=0 となる N\in\calL_d と E\subset N に対して， \lambda^*(E)\le\lambda^*(N)=0 だから E はLebesgue零集合であり， E\in\calL_d かつ \lambda(E)=0 である （Theorem 5.1.3）．

• Lebesgue測度は正則である．すなわち任意の A\in\calL_d に対して， 開集合で外側から，コンパクト集合で内側から測度を近似できる （thm:lebesgue-measure-outer-regularity,thm:lebesgue-measure-inner-regularity）．