Lebesgue測度の定義より \lambda(A)=\lambda^*(A) である． Lebesgue外測度の非負性 （Theorem 3.5.2）から従う．

右辺を M := \sup_m \lambda(A \cap Q_m) とおく．

Lebesgue外測度の単調性から \lambda(A) \ge M である． 逆向きについて， M=\infty のときはただちに従うので，M<\infty とする．

E_1:=A\cap Q_1,\qquad E_m:=A\cap(Q_m\setminus Q_{m-1})\quad(m\ge2)

とおくと，E_m は互いに素なLebesgue可測集合であり， A=\bigcup_{m=1}^{\infty}E_m である． 有界閉区間内の有限加法性 （Lemma 5.2.1.2）を Q_N の中の互いに素な集合 E_1,\dots,E_N\in\calL(Q_N) に適用すると

\lambda(A\cap Q_N)=\sum_{m=1}^{N}\lambda(E_m)

である．したがって

\sum_{m=1}^{\infty}\lambda(E_m)=M

である．外測度の可算劣加法性（Theorem 3.5.2）より

\lambda(A)=\lambda^*(A)\le \sum_{m=1}^{\infty}\lambda^*(E_m) = \sum_{m=1}^{\infty}\lambda(E_m)=M

となり，主張が従う．

任意の m\ge1 に対して， A\cap Q_m と B\cap Q_m は \calL(Q_m) に属し，互いに素である． 有界閉区間内の有限加法性 （Lemma 5.2.1.2）より

\lambda\bigl((A\cup B)\cap Q_m\bigr) = \lambda(A\cap Q_m)+\lambda(B\cap Q_m)

である．m に関して上限を取ると， Lemma 5.3.3 と単調列の上限の性質から

\lambda(A\cup B)=\lambda(A)+\lambda(B)

を得る．

Lebesgue可測集合族の \sigma-加法性 （Theorem 5.2.2.2）より

A:=\bigsqcup_{n=1}^{\infty}A_n

はLebesgue可測である． 任意の m\ge1 に対して， \{A_n\cap Q_m\}_{n=1}^{\infty}\subset\calL(Q_m) は互いに素である． 有界閉区間内の完全加法性 （Theorem 5.2.1.4）より

\lambda(A\cap Q_m) = \sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n\cap Q_m) \le \sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)

である．m に関して上限を取り， Lemma 5.3.3 を用いれば

\lambda(A)\le\sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)

である．

逆向きの不等式を示す．任意の N に対して， Lemma 5.3.3 と単調列の上限の性質より

\sum_{n=1}^{N}\lambda(A_n) = \sup_{m\ge1}\sum_{n=1}^{N}\lambda(A_n\cap Q_m)

である．したがって，有界閉区間内の完全加法性 （Theorem 5.2.1.4）より

\sum_{n=1}^{N}\lambda(A_n) \le \sup_{m\ge1}\sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n\cap Q_m) = \sup_{m\ge1}\lambda(A\cap Q_m) = \lambda(A)

である．N\to\infty とすれば

\sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)\le\lambda(A)

を得る．

• Lebesgue測度の定義と外測度の単調性 （Theorem 3.5.2）より

\lambda(A)=\lambda^*(A)\le\lambda^*(B)=\lambda(B)

である．

• Lebesgue可測集合族の \sigma-加法性 （Theorem 5.2.2.2）より \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n はLebesgue可測である． したがって，外測度の可算劣加法性 （Theorem 3.5.2）より

\lambda\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) = \lambda^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) \le \sum_{n=1}^{\infty}\lambda^*(A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)

である．

A_0:=\emptyset とおき，

B_n:=A_n\setminus A_{n-1}\qquad(n\ge1)

と定める．Lebesgue可測集合の集合演算 （Corollary 5.2.2.3）より B_n\in\calL_d であり， \{B_n\} は互いに素である．また

A_N=\bigsqcup_{n=1}^{N}B_n, \qquad A=\bigsqcup_{n=1}^{\infty}B_n

である．完全加法性（Theorem 5.3.5）と 有限加法性（Lemma 5.3.4）より

\lambda(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda(B_n), \qquad \lambda(A_N)=\sum_{n=1}^{N}\lambda(B_n)

である．したがって

\lambda(A)=\lim_{N\to\infty}\lambda(A_N)

を得る．

C_n:=A_1\setminus A_n

とおく．Lebesgue可測集合の集合演算 （Corollary 5.2.2.3）より C_n\in\calL_d であり，

C_1\subset C_2\subset\cdots

である．また

\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n=A_1\setminus A

である．下からの連続性 （Theorem 5.3.7）より

\lambda(A_1\setminus A) = \lim_{n\to\infty}\lambda(C_n)

である．

有限加法性（Lemma 5.3.4）より

\lambda(A_1)=\lambda(A_n)+\lambda(C_n), \qquad \lambda(A_1)=\lambda(A)+\lambda(A_1\setminus A)

である．仮定より \lambda(A_1)<\infty なので，ここでは通常の実数の差として

\lambda(A_n)=\lambda(A_1)-\lambda(C_n), \qquad \lambda(A)=\lambda(A_1)-\lambda(A_1\setminus A)

と書ける．したがって

\lim_{n\to\infty}\lambda(A_n)=\lambda(A)

である．

まず内測度も平行移動で不変であることを確認する． コンパクト集合 K\subset A とコンパクト集合 K+c\subset A+c は一対一に対応する． Lebesgue外測度の平行移動不変性 （Proposition 3.5.3）より

\lambda^*(K+c)=\lambda^*(K)

であるから

\lambda_*(A+c)=\lambda_*(A)

である．

次に A+c がLebesgue可測であることを示す． 任意の R>0 を取る．

B:=A\cap(Q_R-c)

とおく．Q_R-c は有界閉区間なので，開集合と閉集合の可測性 （Theorem 5.2.2.4）よりLebesgue可測である． Lebesgue可測集合の集合演算 （Corollary 5.2.2.3）より B もLebesgue可測である． また B は有界なので \lambda^*(B)<\infty である．有限外測度集合の可測性 （Theorem 5.1.2）より

\lambda_*(B)=\lambda^*(B)

である．上で示した内測度の平行移動不変性と Lebesgue外測度の平行移動不変性 （Proposition 3.5.3）より

\lambda_*(B+c)=\lambda^*(B+c)

である．ところが

B+c=(A+c)\cap Q_R

だから，任意の R>0 で内外一致が成り立つ． よって A+c はLebesgue可測である．

最後に，Lebesgue外測度の平行移動不変性 （Proposition 3.5.3）より

\lambda(A+c)=\lambda^*(A+c)=\lambda^*(A)=\lambda(A)

である．

開集合はLebesgue可測である （Theorem 5.2.2.4）から，開集合 G について

\lambda(G)=\lambda^*(G)

である．また \lambda(A)=\lambda^*(A) である． したがって，開集合による外正則性 （Theorem 3.7.1）より

\lambda(A) = \lambda^*(A) = \inf\{\lambda^*(G)\mid A\subset G,\ G\text{ は開集合}\} = \inf\{\lambda(G)\mid A\subset G,\ G\text{ は開集合}\}

を得る．

コンパクト集合はLebesgue可測であり，そのLebesgue測度は外測度に等しいので， 右辺は内測度の定義そのものから \lambda_*(A) である． したがって，\lambda(A)<\infty のときは，有限外測度集合の可測性 （Theorem 5.1.2）より

\lambda(A)=\lambda^*(A)=\lambda_*(A)

となり，結論が従う．

次に \lambda(A)=\infty とする． 測度の極限表示（Lemma 5.3.3）より

\sup_{n\ge1}\lambda(A\cap Q_n)=\infty

である．したがって任意の M>0 に対して，ある n が存在して

\lambda(A\cap Q_n)>M

となる．A\cap Q_n は有界なLebesgue可測集合なので， 有限測度の場合を A\cap Q_n に適用でき，コンパクト集合 K\subset A\cap Q_n\subset A で

\lambda(K)>M

となるものが取れる．よって

\sup\{\lambda(K)\mid K\subset A,\ K\text{ はコンパクト}\}=\infty=\lambda(A)

である．