A\in\calL(Q) だから

\lambda_*(A)=\lambda^*(A)

である．区間による外測度の分解 （Corollary 4.5.4）より

|Q|=\lambda^*(A)+\lambda^*(Q\setminus A)

である．同じ区間による外測度の分解 （Corollary 4.5.4）を Q\setminus A\subset Q に適用すると， この等式は

\lambda_*(Q\setminus A)=\lambda^*(Q\setminus A)

と同値である．したがって Q\setminus A\in\calL(Q) である．

まず有限和に関する閉性を示す． A,B\subset Q なので，\lambda^*(A),\lambda^*(B)<\infty である． A,B\in\calL(Q) と有限外測度集合の可測性 （Theorem 5.1.2）より， A,B はLebesgue可測である． 有限外測度集合の近似判定法 （Lemma 5.2.2）より，任意の \eps>0 に対して コンパクト集合 K_A\subset A,\ K_B\subset B で

\lambda^*(A\setminus K_A)<\frac{\eps}{2}, \qquad \lambda^*(B\setminus K_B)<\frac{\eps}{2}

となるものが取れる． このとき

K:=K_A\cup K_B

は A\cup B に含まれるコンパクト集合であり，

(A\cup B)\setminus K \subset (A\setminus K_A)\cup(B\setminus K_B)

である．Lebesgue外測度の性質 （Theorem 3.5.2）より

\lambda^*((A\cup B)\setminus K)<\eps

である．したがって有限外測度集合の近似判定法 （Lemma 5.2.2）より A\cup B はLebesgue可測である． また A\cup B\subset Q だから，有限外測度集合の可測性 （Theorem 5.1.2）より

\lambda_*(A\cup B)=\lambda^*(A\cup B)

である．よって A\cup B\in\calL(Q) である．

次に A\cap B=\emptyset とする． 外測度の劣加法性（Theorem 3.5.2）より

\lambda^*(A\cup B)\le \lambda^*(A)+\lambda^*(B)

である．逆向きの不等式を示す．\eps>0 を任意に取る． A,B\in\calL(Q) だから，内測度の定義よりコンパクト集合 K_A\subset A,\ K_B\subset B で

\lambda^*(K_A)>\lambda^*(A)-\frac{\eps}{2}, \qquad \lambda^*(K_B)>\lambda^*(B)-\frac{\eps}{2}

となるものが取れる． A\cap B=\emptyset なので K_A と K_B は交わらない． 空でない場合には2つのコンパクト集合は正の距離だけ離れているから， 正距離集合に対する外測度の加法性 （Lemma 3.8.1）より

\lambda^*(K_A\cup K_B) = \lambda^*(K_A)+\lambda^*(K_B)

である．片方が空の場合もこの等式は自明である． したがって

\lambda^*(A\cup B) \ge \lambda^*(K_A\cup K_B) > \lambda^*(A)+\lambda^*(B)-\eps

である．\eps>0 は任意だから

\lambda^*(A\cup B)\ge \lambda^*(A)+\lambda^*(B)

を得る．

有界閉区間内の補集合 （Lemma 5.2.1.1）より Q\setminus A,Q\setminus B\in\calL(Q) である． 有界閉区間内の有限和に関する閉性 （Lemma 5.2.1.2）より

(Q\setminus A)\cup(Q\setminus B)\in\calL(Q), \qquad (Q\setminus A)\cup B\in\calL(Q)

である．もう一度補集合に関する閉性を用いると

A\cap B = Q\setminus\bigl((Q\setminus A)\cup(Q\setminus B)\bigr)\in\calL(Q)

および

A\setminus B = Q\setminus\bigl((Q\setminus A)\cup B\bigr)\in\calL(Q)

を得る．

まず Q\in\calL(Q) を確認する． Q はコンパクト集合なので，コンパクト集合では内外が一致する （Proposition 4.2.2）より

\lambda_*(Q)=\lambda^*(Q)

である．また有界閉区間内の補集合 （Lemma 5.2.1.1）より \emptyset=Q\setminus Q\in\calL(Q) である．

補集合に関する閉性は有界閉区間内の補集合 （Lemma 5.2.1.1）で示した． したがって，あとは可算和に関する閉性を示せばよい．

まず \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\calL(Q) が互いに素である場合を考える．

A:=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n, \qquad S_N:=\bigcup_{n=1}^{N}A_n

とおく．有界閉区間内の有限和に関する閉性と有限加法性 （Lemma 5.2.1.2）を繰り返し用いると

S_N\in\calL(Q), \qquad \lambda^*(S_N)=\sum_{n=1}^{N}\lambda^*(A_n)

である．単調性より

\sum_{n=1}^{N}\lambda^*(A_n)=\lambda^*(S_N)\le\lambda^*(A)

であるから，N\to\infty として

\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^*(A_n)\le\lambda^*(A)

を得る．逆向きの不等式は外測度の可算劣加法性 （Theorem 3.5.2）から従う．よって

\lambda^*(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^*(A_n)

である．

A\subset Q なので \lambda^*(A)<\infty である． 任意の \eps>0 を取る．上の等式より，ある N が存在して

\lambda^*(S_N)>\lambda^*(A)-\frac{\eps}{2}

である．S_N\in\calL(Q) かつ S_N\subset Q だから，有限外測度集合の可測性 （Theorem 5.1.2）より S_N はLebesgue可測である． したがって有限外測度集合の近似判定法 （Lemma 5.2.2）より， コンパクト集合 K\subset S_N で

\lambda^*(S_N\setminus K)<\frac{\eps}{2}

となるものが取れる．コンパクト集合による外測度の分解 （Lemma 3.8.4）より

\lambda^*(S_N)=\lambda^*(K)+\lambda^*(S_N\setminus K)

だから

\lambda^*(K)>\lambda^*(S_N)-\frac{\eps}{2} >\lambda^*(A)-\eps

である． したがって有限外測度集合の近似判定法 （Lemma 5.2.2）より A はLebesgue可測である． さらに A\subset Q なので，有限外測度集合の可測性 （Theorem 5.1.2）より A\in\calL(Q) である． 互いに素な場合の可算和に関する閉性と加法性が示された．

一般の列 \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\calL(Q) に対しては

B_1:=A_1,\qquad B_n:=A_n\setminus\bigcup_{j=1}^{n-1}A_j \quad(n\ge2)

とおく．有界閉区間内の有限和に関する閉性 （Lemma 5.2.1.2）と 有界閉区間内の集合演算 （Corollary 5.2.1.3）より，すべての n について B_n\in\calL(Q) である．また \{B_n\} は互いに素であり，

\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n

である．したがって上で示した互いに素な場合を適用すれば，

\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\calL(Q)

を得る．

まず \RR^d\in\calL_d である．実際，任意の R>0 に対して

\RR^d\cap Q_R=Q_R \in \calL(Q_R)

なので，Proposition 5.2.2.1 より \RR^d \in \calL_d である．

また同様に \emptyset\in\calL_d である．

次に A\in\calL_d とする．任意の R>0 に対して， A\cap Q_R\in\calL(Q_R) である．有界閉区間内の \sigma-加法性 （Theorem 5.2.1.4）より

Q_R\setminus(A\cap Q_R)\in\calL(Q_R)

である．これは

(\RR^d\setminus A)\cap Q_R = Q_R\setminus(A\cap Q_R)

に等しい．したがって任意の R>0 で (\RR^d \setminus A) \cap Q_R \in \calL(Q_R) である．

よって \RR^d\setminus A\in\calL_d である．

最後に \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\calL_d とする． 任意の R>0 に対して，各 A_n\cap Q_R は \calL(Q_R) に属する． 有界閉区間内の \sigma-加法性 （Theorem 5.2.1.4）より

\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n\cap Q_R)\in\calL(Q_R)

である．ところが

\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)\cap Q_R = \bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n\cap Q_R)

である．したがって任意の R>0 で \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)\cap Q_R \in \calL(Q_R) である．よって

\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\calL_d

である．

Lebesgue可測集合族の \sigma-加法性 （Theorem 5.2.2.2）から，補集合と可算和に関する閉性が従う． あとはDe Morganの法則と

A\setminus B=A\cap(\RR^d\setminus B)

を用いればよい．

まず閉集合 F\subset\RR^d を取る．任意の R>0 に対して

F\cap Q_R

はコンパクト集合である．コンパクト集合では内外が一致する （Proposition 4.2.2）より

\lambda_*(F\cap Q_R)=\lambda^*(F\cap Q_R)

である．したがって F はLebesgue可測である．

開集合 G については，\RR^d\setminus G が閉集合なのでLebesgue可測である． Lebesgue可測集合族の \sigma-加法性 （Theorem 5.2.2.2）より，その補集合である G もLebesgue可測である．