まず A がLebesgue可測であるとする． \eps>0 を任意に取る． Lebesgue外測度の定義より，A を覆う区間列 \{I_n\}_{n=1}^{\infty} で

\sum_{n=1}^{\infty}|I_n|<\lambda^*(A)+\eps

となるものが取れる． ある N について

\sum_{n>N}|I_n|<\eps

である．さらに R>0 を十分大きく取って， 空でない I_1,\dots,I_N がすべて Q_R に含まれるようにする． すると

A\setminus Q_R\subset\bigcup_{n>N} I_n

だから

\lambda^*(A\setminus Q_R)<\eps.

A はLebesgue可測なので，A\cap Q_R は内外一致する． したがって，コンパクト集合 K\subset A\cap Q_R で

\lambda^*(K)>\lambda^*(A\cap Q_R)-\eps

となるものが取れる．外測度の劣加法性より

\lambda^*(A) \le \lambda^*(A\cap Q_R)+\lambda^*(A\setminus Q_R) < \lambda^*(K)+2\eps \le \lambda_*(A)+2\eps.

\eps>0 は任意なので，Lebesgue内測度の基本性質 （Proposition 4.2.1）と合わせて

\lambda_*(A)=\lambda^*(A)

である．

逆に \lambda_*(A)=\lambda^*(A) とする． 任意の R>0 に対し，

A_R:=A\cap Q_R

が内外一致することを示す． \eps>0 を任意に取る．内測度の定義より，コンパクト集合 K\subset A で

\lambda^*(K)>\lambda^*(A)-\eps

となるものが取れる． コンパクト集合による外測度の分解（Lemma 3.8.4）を コンパクト集合 Q_R と集合 A,\,K にそれぞれ適用すると，

\lambda^*(A)=\lambda^*(A_R)+\lambda^*(A\setminus Q_R),

\lambda^*(K) = \lambda^*(K\cap Q_R)+\lambda^*(K\setminus Q_R)

である．また K\setminus Q_R\subset A\setminus Q_R だから

\lambda^*(K\cap Q_R) > \lambda^*(A)-\lambda^*(A\setminus Q_R)-\eps = \lambda^*(A_R)-\eps.

K\cap Q_R は A_R に含まれるコンパクト集合なので， \lambda_*(A_R)>\lambda^*(A_R)-\eps である． \eps>0 は任意だから

\lambda_*(A_R)\ge \lambda^*(A_R)

を得る．逆向きの不等式はLebesgue内測度の基本性質であるから， A_R は内外一致する． R>0 は任意だから，A はLebesgue可測である．

任意の R>0 に対して， Q_R := [-R,R]^d と書く． Lebesgue外測度の単調性 （Theorem 3.5.2）より

\lambda^*(N\cap Q_R)\le \lambda^*(N)=0

である． Lebesgue内測度の基本性質（Proposition 4.2.1）より

0\le \lambda_*(N\cap Q_R) \le \lambda^*(N\cap Q_R)

である． したがって

\lambda_*(N\cap Q_R) = \lambda^*(N\cap Q_R) =0

だから，N はLebesgue可測である． また \lambda(N)=\lambda^*(N)=0 である．

一点集合および可算集合のLebesgue外測度は 0 である （Theorem 3.4.3）． したがってLebesgue零集合の可測性（Theorem 5.1.3）より従う．

Jordan可測集合は有界なのでLebesgue外測度有限である（\lambda^*(A) < \infty）．よって\lambda_*(A)=\lambda^*(A)を示せばよい． Jordan可測性より

m_{J,*}(A)=m_J^*(A)=m_J(A)

である． 第4章のJordan内測度との比較，Lebesgue内測度の基本性質， 第3章のJordan外測度との比較を順に用いると

m_J(A) =m_{J,*}(A) \le \lambda_*(A) \le \lambda^*(A) \le m_J^*(A) =m_J(A)

となる． したがってすべて等号であり，特に

\lambda_*(A)=\lambda^*(A)=m_J(A)

である． よって A はLebesgue可測であり，

\lambda(A)=m_J(A)

である．