右辺を

\alpha:=\lambda^*(O)-\lambda^*(O\setminus A)

とおく．O\setminus A\subset O だから \lambda^*(O\setminus A)<\infty であり， \alpha は未定義な差を含まない．

まず \lambda_*(A)\le\alpha を示す． K\subset A を満たすコンパクト集合 K を任意に取る． A\subset O だから K\subset O である． Lemma 3.8.3をこの開集合 O とコンパクト集合 K に適用すると，

\lambda^*(O)=\lambda^*(K)+\lambda^*(O\setminus K)

である．また

O\setminus A\subset O\setminus K

だから，外測度の単調性より

\lambda^*(O\setminus A)\le \lambda^*(O\setminus K).

したがって

\lambda^*(K) = \lambda^*(O)-\lambda^*(O\setminus K) \le \lambda^*(O)-\lambda^*(O\setminus A) =\alpha.

K について上限を取ると

\lambda_*(A)\le \alpha

を得る．

逆向きの不等式を示す．\eps>0 を任意に取る． 第3章の開集合による外正則性より， O\setminus A\subset U を満たす開集合 U で

\lambda^*(U)<\lambda^*(O\setminus A)+\frac{\eps}{2}

となるものが取れる． またLemma 3.8.2より，コンパクト集合 L\subset O で

\lambda^*(L)>\lambda^*(O)-\frac{\eps}{2}

となるものが取れる． 再びLemma 3.8.3を O と L に適用すると

\lambda^*(O)=\lambda^*(L)+\lambda^*(O\setminus L)

であるから，

\lambda^*(O\setminus L)<\frac{\eps}{2}

である．

ここで

K:=L\setminus U

とおく．L はコンパクトで U は開集合だから K はコンパクトである． さらに K\subset O\setminus U であり，U は O\setminus A を含むので，

K\subset A

である． また

O\subset K\cup U\cup (O\setminus L)

だから，外測度の劣加法性より

\lambda^*(O) \le \lambda^*(K)+\lambda^*(U)+\lambda^*(O\setminus L).

よって

\begin{aligned} \lambda^*(K) &\ge \lambda^*(O)-\lambda^*(U)-\lambda^*(O\setminus L)\\ &> \lambda^*(O)-\lambda^*(O\setminus A)-\eps =\alpha-\eps. \end{aligned}

内測度の定義より \lambda_*(A)\ge\lambda^*(K) だから

\lambda_*(A)>\alpha-\eps

である．\eps>0 は任意なので

\lambda_*(A)\ge \alpha

を得る． 以上より

\lambda_*(A)=\lambda^*(O)-\lambda^*(O\setminus A)

である．

C はコンパクトだから有界である．したがって， C\subset O かつ \lambda^*(O)<\infty を満たす開集合 O が取れる． A\subset C より \lambda^*(A)<\infty であるから， 開集合を用いた内測度表示（Theorem 4.5.1）より

\lambda_*(A)=\lambda^*(O)-\lambda^*(O\setminus A)

である． 一方，Lemma 3.8.4 を B=O\setminus A に適用すると

\lambda^*(O\setminus A) = \lambda^*(C\setminus A)+\lambda^*(O\setminus C)

である．また Lemma 3.8.3 より

\lambda^*(O)=\lambda^*(C)+\lambda^*(O\setminus C)

である．これらを代入して

\lambda_*(A) = \lambda^*(C)-\lambda^*(C\setminus A)

を得る．

Q=\emptyset のときは自明である．以下では Q\neq\emptyset とする． C:=\overline Q とおく．第3章で示した区間の外測度の計算より \lambda^*(C)=|Q| であり，また C\setminus Q は零集合なので

\lambda^*(C\setminus A)=\lambda^*(Q\setminus A)

である．

まず \lambda_*(A)\le |Q|-\lambda^*(Q\setminus A) を示す． コンパクト集合 K\subset A を取る． Lemma 3.8.4 を B=C とコンパクト集合 K に適用すると

\lambda^*(C)=\lambda^*(K)+\lambda^*(C\setminus K)

である．また Q\setminus A\subset C\setminus K だから

\lambda^*(K) \le \lambda^*(C)-\lambda^*(Q\setminus A) = |Q|-\lambda^*(Q\setminus A).

上限を取ると

\lambda_*(A)\le |Q|-\lambda^*(Q\setminus A)

である．

逆向きの不等式を示す．\eps>0 を任意に取る． 開集合による外正則性より，C\setminus A を含む開集合 U で

\lambda^*(U)<\lambda^*(C\setminus A)+\eps

となるものを取る． このとき K:=C\setminus U は A に含まれるコンパクト集合である． C\subset K\cup U だから

\lambda^*(C)\le \lambda^*(K)+\lambda^*(U)

であり，

\lambda^*(K) > \lambda^*(C)-\lambda^*(C\setminus A)-\eps = |Q|-\lambda^*(Q\setminus A)-\eps.

内測度の定義より

\lambda_*(A)\ge |Q|-\lambda^*(Q\setminus A)-\eps

である．\eps>0 は任意なので逆向きの不等式も従う．

Theorem 4.5.3 により

\lambda_*(A)=|Q|-\lambda^*(Q\setminus A)

である．これを \lambda_*(A)=\lambda^*(A) に代入すればよい．