4.4. Jordan測度との関係
集合 A \subset \RR^d に対し，
m_{J,*}(A) \le \lambda_*(A)
である．
Lean code for Theorem4.4.1●1 theorem
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theoremdefined in NoteKsk/«04lebesgue-inner».leancomplete
theorem NoteKsk.Chapter04.jordanInnerMeasure_le_lambdaInner {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : NoteKsk.jordanInnerMeasure A ≤ NoteKsk.Chapter04.lambdaInner A
theorem NoteKsk.Chapter04.jordanInnerMeasure_le_lambdaInner {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : NoteKsk.jordanInnerMeasure A ≤ NoteKsk.Chapter04.lambdaInner A
Jordan inner measure is bounded by Lebesgue inner measure.
E\subset A を満たす基本集合 E を任意に取る．
E=\emptyset のときは m_J(E)=0\le\lambda_*(A) だからよい．
以下では E\neq\emptyset とする．
このとき
E=\bigsqcup_{j=1}^{N}Q_j
と互いに素な有界区間の有限合併に書ける．
任意の \eps>0 に対し，各 Q_j の端点を少し内側へ動かせば，
コンパクト区間 C_j\subset Q_j で
|C_j|>|Q_j|-\frac{\eps}{N}
を満たすものが取れる．ただし |Q_j|=0 の場合は C_j=\emptyset とすればよい．
そこで
K:=\bigcup_{j=1}^{N}C_j
とおくと，K はコンパクト集合であり，K\subset E\subset A である．
また Q_j たちは互いに素なので，C_j たちも互いに素である．
したがって K はJordan可測であり，第3章で示した
Jordan測度とLebesgue外測度の一致より
\lambda^*(K)=m_J(K)=\sum_{j=1}^{N}|C_j|.
よって
\lambda_*(A)
\ge \lambda^*(K)
=\sum_{j=1}^{N}|C_j|
>
\sum_{j=1}^{N}|Q_j|-\eps
=m_J(E)-\eps.
\eps>0 は任意なので
m_J(E)\le \lambda_*(A)
である．
最後に，E\subset A を満たす基本集合全体について上限を取ると
m_{J,*}(A)\le \lambda_*(A)
を得る．