4.1. 定義
Lebesgue内測度.
集合 A \subset \RR^d に対し，Lebesgue内測度 \lambda_*(A) を
\lambda_*(A)
:=
\sup\{\lambda^*(K) \mid K \subset A,\ K \text{ はコンパクト}\}
で定める．
Lean code for Definition4.1.1●1 definition
Associated Lean declarations
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NoteKsk.Chapter04.lambdaInner[complete]
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NoteKsk.Chapter04.lambdaInner[complete]
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defdefined in NoteKsk/«04lebesgue-inner».leancomplete
def NoteKsk.Chapter04.lambdaInner {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : ENNReal
def NoteKsk.Chapter04.lambdaInner {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : ENNReal
Definition body
def lambdaInner {d : ℕ} (A : Set (Space d)) : ENNReal := ⨆ K : Set (Space d), ⨆ _hK : IsCompact K, ⨆ _hKA : K ⊆ A, lambdaStar K /-! ## 2. Basic properties -/Lebesgue inner measure `λ_*`, defined by compact subsets.
Remark.
この定義は，Lebesgue外測度や，\RR^d のコンパクト集合という位相構造を用いて記述されている．
第3章では，Lebesgue外測度が開被覆の下限として言い換えられることを見た．位相論において，開集合の対照的な概念は（閉集合ではなく）コンパクト集合であり，この観点で内測度は外測度の対照的な量である．
Remark (区間による内側近似がうまくいかない理由). Jordan内測度との類推から，内測度を
\gamma(A) :=
\sup\left\{ \sum_{i=1}^\infty |R_i| \;\middle|\; \bigsqcup_{i=1}^\infty R_i \subset A,\ R_i \text{ は互いに素な左半開区間}\right\}
のように定めても，あまりうまくいかない．
まず，同じ部分を重複して測ると上限が発散するため，内側からの近似では重なりを許す被覆（covering）ではなく充填（packing）を用いる必要がある．
しかし，左半開区間だけでは A の内部しか見えない．
非退化な左半開区間 R_i は空でない開集合を含むので，R_i \subset A なら
\intr R_i \subset \intr A
である．
しかも境界は測度 0 だから，|R_i|=|\intr R_i| であり，
この方法で得られる量は高々 \lambda^*(\intr A) である．
したがって，\intr A=\emptyset ならこの方法は常に 0 しか与えない．
ところが，fat Cantor 集合（Smith--Volterra--Cantor 集合）のように， 内部が空でありながら正のLebesgue測度をもつコンパクト集合が存在するので， 区間充填ではこのような集合を測れない． このような背景を踏まえ，Lebesgue内測度では区間ではなく，コンパクト集合による充填を用いる．