3.9. 解釈🔗

Lebesgue理論の出発点は 「すべての部分集合に可算加法的な体積を与えること」ではなく， まず外測度

\lambda^* : \mathcal P(\RR^d) \to [0,\infty]

を全ての部分集合上に定めることである． 本章で得た \lambda^* は

• 全域的に定義される

• 非負で，\lambda^*(\emptyset)=0 を満たす

• 可算劣加法的である

• 平行移動不変である

• 区間の体積や可算集合の長さ 0 という幾何学的直観と整合する

という性質をもつ． ただし，この段階ではまだ可算加法性は一般には成り立たないので， \lambda^* は「測度」ではなく「外測度」にとどまっている．

次章以降ではこれに対応する内測度を導入し，

\text{外測度}=\text{内測度}

が成り立つ集合をLebesgue可測集合として定義する．