片方が空集合の場合は自明なので，以下では A,B は空でないとする． 実際，\operatorname{dist}(A,B)>0 とし， 0<\rho<\operatorname{dist}(A,B) を取る． A\cup B を覆う区間列 \{R_i\}_{i=1}^{\infty}\subset\calE_d を任意に取る． \sum_i |R_i|=\infty の場合は自明なので，この和は有限としてよい． すると各 R_i は有界であり，有限個の左半開区間に分割して， 各小区間の直径を \rho 未満にできる． そのような小区間は A と B の両方には交わらない． したがって，A に交わる小区間全体は A を覆い， B に交わる小区間全体は B を覆うので，

\lambda^*(A)+\lambda^*(B)\le \sum_{i=1}^{\infty}|R_i|.

被覆について下限を取れば

\lambda^*(A)+\lambda^*(B)\le \lambda^*(A\cup B)

を得る．逆向きの不等式は外測度の劣加法性である．

もし U=\emptyset なら F=\emptyset とすればよい． 以下では U\neq\emptyset とする． これを見るため，有理数端点をもつ有界閉区間で U に含まれるもの全体を

C_1,C_2,\dots

と列挙する．U は開集合だから，これらは U を覆う．

B_1:=C_1,\qquad B_n:=C_n\setminus\bigcup_{j=1}^{n-1}C_j\quad(n\ge2)

とおくと，\{B_n\} は互いに素なJordan可測集合列で，

U=\bigsqcup_{n=1}^{\infty}B_n

である．上で示した \calA_J 上の可算加法性より

\lambda^*(U)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^*(B_n).

よってある N が存在して

\sum_{n=1}^{N}\lambda^*(B_n)>\lambda^*(U)-\eps

となる． このとき

F:=\bigcup_{n=1}^{N}C_n

は U に含まれるコンパクト集合であり，

\lambda^*(F) = \sum_{n=1}^{N}\lambda^*(B_n) > \lambda^*(U)-\eps

である．

外測度の劣加法性より

\lambda^*(O) \le \lambda^*(O\cap K)+\lambda^*(O\setminus K)

である．

逆向きの不等式を示す．\eps>0 を任意に取る． O\setminus K は開集合であり，単調性より

\lambda^*(O\setminus K)\le\lambda^*(O)<\infty

である． したがって上の補題より，コンパクト集合 F\subset O\setminus K で

\lambda^*(F)>\lambda^*(O\setminus K)-\eps

となるものが取れる． もし F=\emptyset なら

\lambda^*((O\cap K)\cup F) = \lambda^*(O\cap K)+\lambda^*(F)

は自明である． もし F\neq\emptyset なら，F はコンパクトで K と交わらないから，

\operatorname{dist}(F,K)>0

である．特に F と O\cap K も正の距離だけ離れている． この場合は補題より

\lambda^*((O\cap K)\cup F) = \lambda^*(O\cap K)+\lambda^*(F)

である．いずれの場合も上の等式が成り立つ． 一方 (O\cap K)\cup F\subset O だから，単調性より

\lambda^*(O) \ge \lambda^*(O\cap K)+\lambda^*(F) > \lambda^*(O\cap K)+\lambda^*(O\setminus K)-\eps.

\eps>0 は任意なので

\lambda^*(O) \ge \lambda^*(O\cap K)+\lambda^*(O\setminus K)

を得る．以上より等号が成り立つ．

外測度の劣加法性より

\lambda^*(B) \le \lambda^*(B\cap C)+\lambda^*(B\setminus C)

である．

逆向きの不等式を示す．\lambda^*(B)=\infty のときは自明なので， \lambda^*(B)<\infty とする． \eps>0 を任意に取る．開集合による外正則性 （Theorem 3.7.1）より， B\subset U を満たす開集合 U で

\lambda^*(U)<\lambda^*(B)+\eps

となるものが取れる． 特に \lambda^*(U)<\infty である． Lemma 3.8.3 を U と C に適用すると

\lambda^*(U) = \lambda^*(U\cap C)+\lambda^*(U\setminus C)

である． また

B\cap C\subset U\cap C,\qquad B\setminus C\subset U\setminus C

だから，単調性より

\lambda^*(B\cap C)+\lambda^*(B\setminus C) \le \lambda^*(U) < \lambda^*(B)+\eps.

\eps>0 は任意なので

\lambda^*(B\cap C)+\lambda^*(B\setminus C) \le \lambda^*(B)

である．