3.7. Lebesgue外測度の外正則性
\RR^dの開集合系を\calO_d := \{ O \subset \RR^d \mid O \text{ は開集合}\}と書く．
Remark.
一般の集合Xの部分集合族\calO_Xが開集合系であるとは，以下の3条件を満たすことをいう
-
X,\emptyset \in \calO_X -
（任意合併）
\{ O_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda} \subset \calO \implies \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \in \calO -
（有限交叉）
O_1,O_2 \in \calO_X \implies O_1 \cap O_2 \in \calO_X特に，
\RR^dの開集合系\calO_dは，上記の条件を満たす．
開集合による外正則性.
任意の A \subset \RR^d に対して
\lambda^*(A)
=
\inf\{\lambda^*(G)\mid A \subset G,\ G \text{ は開集合}\}
が成り立つ．
Lean code for Theorem3.7.1●2 declarations
Associated Lean declarations
-
defdefined in NoteKsk/«03lebesgue-outer».leancomplete
def NoteKsk.Chapter03.lambdaStarByOpenSupersets {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : ENNReal
def NoteKsk.Chapter03.lambdaStarByOpenSupersets {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : ENNReal
Definition body
def lambdaStarByOpenSupersets {d : ℕ} (A : Set (Space d)) : ENNReal := ⨅ G : Set (Space d), ⨅ _hAG : A ⊆ G, ⨅ _hG : IsOpen G, lambdaStar GInfimum of `λ*(G)` over open supersets `G ⊇ A`.
-
theoremdefined in NoteKsk/«03lebesgue-outer».leancomplete
theorem NoteKsk.Chapter03.lambdaStar_outerRegular_open {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : NoteKsk.Chapter03.lambdaStar A = NoteKsk.Chapter03.lambdaStarByOpenSupersets A
theorem NoteKsk.Chapter03.lambdaStar_outerRegular_open {d : ℕ} (A : Set (NoteKsk.Space d)) : NoteKsk.Chapter03.lambdaStar A = NoteKsk.Chapter03.lambdaStarByOpenSupersets A
Lebesgue outer measure is outer regular: approximate from above by open sets.
右辺を \omega(A) := \inf\{ \lambda^*(O) \mid A \subset O, O \in \calO_d \} とおく．
まずLebesgue外測度の単調性により，任意の開集合 O に対し
A \subset O \implies \lambda^*(A) \le \lambda^*(O)
である．よって \lambda^*(A) \le \omega(A) である．
逆向きの不等号を示す．
もし \lambda^*(A)=\infty なら，すでに示した \lambda^*(A)\le\omega(A) より
\omega(A)=\infty であり，自明である．
以下，\lambda^*(A)<\infty とする．
\eps>0 を取る．
Lebesgue外測度の定義より，
区間列 \{ Q_i \}_{i=1}^\infty \subset \calE_d が存在して
A \subset \bigcup_{i=1}^\infty Q_i,
\qquad
\sum_{i=1}^\infty |Q_i| < \lambda^*(A) + \frac{\eps}{2}
である．このとき右辺は有限なので，空でない Q_i は有界である．
各 i に対し，Q_i\subset O_i を満たす開集合 O_i\in\calO_d を
\lambda^*(O_i) < |Q_i| + \frac{\eps}{2^{i+1}}
となるように取る．
実際，Q_i=\emptyset なら O_i=\emptyset とし，
Q_i\neq\emptyset なら，まず Q_i\subset V_i かつ
|V_i|<|Q_i|+\frac{\eps}{2^{i+2}}
となる有界開区間 V_i を取る．
次に V_i\subset R_i かつ
|R_i|<|V_i|+\frac{\eps}{2^{i+2}}
となる左半開区間 R_i\in\calE_d を取り，O_i:=V_i とおけば
\lambda^*(O_i)\le |R_i|
<
|Q_i|+\frac{\eps}{2^{i+1}}
である．
したがって，O_\eps := \bigcup_{i=1}^\infty O_i とおくと，
O_\eps は A を含む開集合（A \subset O_\eps, O_\eps \in \calO_d）であって，
\lambda^*(O_\eps)
\le
\sum_{i=1}^\infty \lambda^*(O_i)
<
\sum_{i=1}^\infty |Q_i| + \frac{\eps}{2}
<
\lambda^*(A) + \eps
である．\eps>0 は任意だから \omega(A) \le \lambda^*(A) である．