3.6. Jordan測度との整合
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m_J : \calA_J \to [0,\infty]の拡張.
Jordan可測集合 A に対し，
m_J(A) = \lambda^*(A).
Jordan可測集合 A は有界であり，m_J(A) = m_J^*(A) = m_{J,*}(A) <\infty である．
A = \emptyset のとき m_J(\emptyset)=0, \lambda^*(\emptyset)=0 より成り立つ．
以下ではA \neq \emptyset とする．
まず \lambda^*(A)\le m_J(A) は，Proposition 3.3.2 から直ちに従う．
逆向きの不等式を示す．
A\subset\bigcup_{n=1}^\infty R_n を満たす任意の可算被覆
\{R_n\}_{n=1}^\infty\subset\calE_d を取る．
\sum_{n=1}^\infty |R_n|=\infty の場合は自明なので，
以下ではこの和が有限であるとする．
このとき各 R_n は有界である．
基本集合 F\subset A を任意に取る．
任意の \eps>0 に対し，各 R_n を少し膨らませた開区間 U_n を
R_n\subset U_n,
\qquad
|U_n|\le |R_n|+\frac{\eps}{2^n}
となるように取る．
さらに任意の \delta >0 に対し，Fを少し縮ませたコンパクト集合 K_\delta を
K_\delta \subset F, \qquad m_J(F) - \delta \le m_J(K_\delta)
となるように取る．
\{U_n\}_{n=1}^\infty はコンパクト集合 K_\delta の開被覆だから有限部分被覆を持つ．
Jordan外測度の有限劣加法性より
m_J(K_\delta)=m_J^*(K_\delta)
\le
\sum_{k=1}^M m_J^*(U_{n_k})
\le
\sum_{k=1}^M |U_{n_k}|
\le
\sum_{n=1}^\infty |R_n|+\eps .
ゆえに
m_J(F)-\delta
\le
\sum_{n=1}^\infty |R_n|+\eps .
\delta,\eps>0 は任意なので
m_J(F)\le \sum_{n=1}^\infty |R_n|
である．
最後に F\subset A を満たす基本集合全体について上限を取り，
可算被覆について下限を取れば
m_J(A)=m_{J,*}(A)\le\lambda^*(A)
を得る．
以上より m_J(A)=\lambda^*(A) である．
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\calA_J上で可算加法的.
互いに素なJordan可測集合の列 \{A_i\}_{i=1}^\infty に対し，
\lambda^*\left( \bigsqcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i).
B_n:=\bigsqcup_{i=1}^n A_i とおく．
各 B_n は有限個のJordan可測集合の互いに素な合併だからJordan可測であり，
Jordan測度の有限加法性と前定理より
\lambda^*(B_n)=m_J(B_n)=\sum_{i=1}^n m_J(A_i)=\sum_{i=1}^n \lambda^*(A_i)
が成り立つ．
いま
B_n \subset \bigsqcup_{i=1}^\infty A_i
だから単調性より
\sum_{i=1}^n \lambda^*(A_i)=\lambda^*(B_n)
\le
\lambda^*\left( \bigsqcup_{i=1}^\infty A_i \right)
である．n\to\infty とすれば
\sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i)
\le
\lambda^*\left( \bigsqcup_{i=1}^\infty A_i \right)
を得る．
逆向きの不等式はLebesgue外測度の可算劣加法性から
\lambda^*\left( \bigsqcup_{i=1}^\infty A_i \right)
\le
\sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i)
である． 以上より等号が成り立つ．