R 自身による1個の被覆を考えればよい．

非負性より \lambda^*(\{a\}) \ge 0 である． 任意の \eps > 0 に対し，\delta > 0 を十分小さく取って

(2\delta)^d < \eps

とする． すると

\{a\} \subset \prod_{j=1}^d (a_j-\delta,a_j+\delta)

であり，右辺の体積は (2\delta)^d だから

\lambda^*(\{a\}) \le (2\delta)^d < \eps.

\eps は任意なので \lambda^*(\{a\})=0 である．

A=\{a_1,a_2,\dots\} と書く． （後述の）可算劣加法性より

\lambda^*(A) \le \sum_{n=1}^{\infty} \lambda^*(\{a_n\}) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 =0.

非負性と合わせて \lambda^*(A)=0 を得る．

右辺を

|R|:=\prod_{i=1}^d (b_i-a_i)

と書く．

まず上から評価する．任意の \eta>0 に対して

R\subset \prod_{i=1}^d (a_i-\eta,b_i]

であり，右辺は \calE_d の元である．したがって

\lambda^*(R) \le \prod_{i=1}^d (b_i-a_i+\eta)

である．\eta\downarrow0 とすれば

\lambda^*(R)\le |R|

を得る．

逆向きの不等式を示す．\eps>0 を任意に取る． 0<\eta<\frac12\min_i(b_i-a_i) を十分小さく取って

K_\eta:=\prod_{i=1}^d [a_i+\eta,b_i-\eta]\subset R, \qquad |K_\eta|>|R|-\eps

となるようにする．

R\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}R_n を満たす任意の可算被覆 \{R_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\calE_d を取る． \sum_n |R_n|=\infty のときは自明なので，この和は有限としてよい． 各 n に対し，R_n=\emptyset なら U_n=\emptyset とする． そうでなければ，R_n を少し膨らませた有界開区間 U_n を

R_n\subset U_n, \qquad |U_n|<|R_n|+\frac{\eps}{2^n}

となるように取る．すると \{U_n\}_{n=1}^{\infty} は コンパクト集合 K_\eta の開被覆だから，有限部分被覆

K_\eta\subset \bigcup_{k=1}^{N}U_{n_k}

をもつ．Jordan外測度の有限劣加法性より

|K_\eta| =m_J(K_\eta) \le \sum_{k=1}^{N}m_J^*(U_{n_k}) \le \sum_{k=1}^{N}|U_{n_k}| \le \sum_{n=1}^{\infty}|R_n|+\eps.

したがって

|R|-\eps < \sum_{n=1}^{\infty}|R_n|+\eps.

被覆 \{R_n\} について下限を取り，さらに \eps>0 の任意性を用いると

|R|\le \lambda^*(R)

である． 以上より \lambda^*(R)=|R| である．