3.1. 動機づけ🔗

Jordan測度は有限個の区間による近似に基づく理論であるため，

A = \QQ \cap [0,1]

のような集合はJordan可測にならない． 有限個の区間で A を覆おうとすると， A が [0,1] に稠密であるため， 結局 [0,1] 全体に近い長さが必要になるからである．

しかし，もし可算個の区間を使ってよいなら事情は変わる． A=\{q_1,q_2,\dots\} と番号づけて， 各点 q_n を長さ \eps 2^{-n} の区間で覆えば， 全体の長さの和は

\sum_{n=1}^{\infty} \eps 2^{-n} = \eps

になる． したがって，\QQ \cap [0,1] の長さは 0 とみなすのが自然である．

この観察は，Jordan理論の限界が 「被覆が有限個に制限されていること」にあることを示している． そこで，有限被覆を可算被覆に置き換えてLebesgue外測度を導入する．