2.8. 有限加法族・有限加法的測度
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冪集合.
集合 X の全部分集合からなる集合族
\calP(X):=\{A \mid A \subset X\}
を X の冪集合という．これを 2^X と書くこともある．
この記法は，各部分集合 A \subset X をその指示関数
1_A : X \to \{0,1\}
と同一視すると，
X の部分集合全体が \{0,1\} 値関数全体と自然に対応することに由来する．
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有限加法族.
集合 X の部分集合族 \calA \subset \mathcal P(X) が有限加法族（finitely additive family）であるとは，
次の3条件を満たすことをいう．
-
\emptyset \in \calA -
A \in \calAならばX \setminus A \in \calA -
A,B \in \calAならばA \cup B \in \calA.
Remark. つまり，有限加法族とは補集合と有限合併に閉じた集合族である． これは集合代数（algebra of sets）または集合体（field of sets）とも呼ばれる．
一方，差集合（相対的補集合）と有限合併に閉じた集合族は集合環（ring of sets）と呼ばれる．全空間Xを含む集合環は有限加法族である．
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有限加法族の基本性質.
\calA が X 上の有限加法族ならば，任意の A,B,A_1,\dots,A_n \in \calA に対して
-
X \in \calA -
A \cap B \in \calA -
A \setminus B \in \calA -
\bigcup_{k=1}^n A_k \in \calA -
\bigcap_{k=1}^n A_k \in \calA
が成り立つ．
演習
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有限加法的測度.
有限加法族 \calA 上の集合関数 \mu : \calA \to [0,\infty) が有限加法的測度（finitely additive measure）または容積（content）であるとは，以下が成り立つことをいう：
-
（単位律）
\mu(\emptyset) = 0 -
（有限加法性）互いに素な
A,B \in \calAに対し，
\mu(A \sqcup B) = \mu(A)+\mu(B).
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X \in \calE_d を固定し，
\calA_d(X):=\{E \in \calA_d \mid E \subset X\}
とおく．このとき \calA_d(X) は X 上の有限加法族であり，m_J : \calA_d(X) \to [0,\infty) は有限加法的測度である．
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Jordan可測集合の有限加法族.
有界Jordan可測集合 X \subset \RR^d を固定し，
\calA_J(X) := \{A \in \calA_J \mid A \subset X\}
とおく．
このとき \calA_J(X) は X 上の有限加法族であり，
m_J : \calA_J(X) \to [0,\infty) は有限加法的測度である．
Remark.
Jordan可測集合全体をそのまま \RR^d 上で見ても有限加法族にはならない．
補集合を取ると一般に有界性を失うからである．
したがって，Jordan理論では最初に有界な全体集合 X を固定して
その内部で議論するのが自然である．
ただし，\calA_d の定義で各成分区間 [a_i,b_i) に拡大実数 \pm\infty を許せば，
\RR^d 自身もそのような左半開区間に属するので，この拡張された \calA_d は
X=\RR^d 上の有限加法族とみなせる．