Lebesgue積分講義ノート

2.7. Jordan測度の性質🔗

Theorem2.7.1
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Definition 2.3.3
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Jordan測度の性質. Jordan可測集合 A,B \subset \RR^d と c \in \RR^d に対して次が成り立つ．

  • （非負性）m_J(A) \ge 0，特に m_J(\emptyset)=0

  • （単調性）A \subset B ならば m_J(A) \le m_J(B)

  • （有限加法性）A \cap B = \emptyset ならば

m_J(A \sqcup B) = m_J(A) + m_J(B).

  • （包除公式）

m_J(A \cup B) = m_J(A) + m_J(B) - m_J(A \cap B).

  • （平行移動不変性）m_J(A+c)=m_J(A)

  • （境界は測度零）m_J(\cl A)=m_J(A)=m_J(\intr A)

Lean code for Theorem2.7.1●3 declarations, 2 missing
  • theoremdefined in NoteKsk/«02jordan».lean
    complete
    theorem NoteKsk.Chapter02.jordanMeasure_eq_zero_of_null {d : ℕ}
  {N : Set (NoteKsk.Space d)} (hN : NoteKsk.JordanNullSet N) :
  NoteKsk.jordanMeasure N = 0
    theorem NoteKsk.Chapter02.jordanMeasure_eq_zero_of_null
  {d : ℕ} {N : Set (NoteKsk.Space d)}
  (hN : NoteKsk.JordanNullSet N) :
  NoteKsk.jordanMeasure N = 0
  • NoteKsk.Chapter02.jordanMeasure_unionmissing declaration
    declaration not found (name was not present during directive/code-block registration)
  • NoteKsk.Chapter02.jordanMeasure_union_of_disjointmissing declaration
    declaration not found (name was not present during directive/code-block registration)
Proof for Theorem 2.7.1
uses 0

  • Jordan外測度の定義から m_J(A)=m_J^*(A)\ge 0 である． また \emptyset は基本集合なので m_J(\emptyset)=0 である．

  • A \subset B とする． B を覆う基本集合はすべて A も覆うから

m_J^*(A)\le m_J^*(B)

である． A,B はJordan可測だから

m_J(A)=m_J^*(A)\le m_J^*(B)=m_J(B)

を得る．

  • 有界閉区間 I を A\cup B を含むように取る． 前定理より A\sqcup B はJordan可測であり， 指示関数の恒等式

1_{A\sqcup B}=1_A+1_B

を積分して

m_J(A\sqcup B) =\int_I 1_{A\sqcup B} =\int_I 1_A+\int_I 1_B =m_J(A)+m_J(B)

を得る．

  • 有界閉区間 I を A\cup B を含むように取る． 前定理より A\cup B と A\cap B はJordan可測であるから， 指示関数の恒等式

1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_{A\cap B}

を積分して

m_J(A\cup B) =\int_I 1_{A\cup B} =\int_I 1_A+\int_I 1_B-\int_I 1_{A\cap B} =m_J(A)+m_J(B)-m_J(A\cap B)

を得る．

  • 基本集合 E に対して

A \subset E \iff A+c \subset E+c

であり，しかも基本集合の平行移動不変性より

m_J(E+c)=m_J(E)

である． したがって

m_J^*(A+c)=m_J^*(A)

が成り立つ． さらに A+c は前定理によりJordan可測だから

m_J(A+c)=m_J^*(A+c)=m_J^*(A)=m_J(A)

を得る．

  • 判定法より \partial A はJordan零集合である．前命題より

m_J(\partial A)=0

である． 単調性より m_J(A\cap \partial A)=0 でもある． また

\cl A = A\cup \partial A, \qquad A=\intr A \sqcup (A\cap \partial A)

であるから，(3), (4) を用いて

m_J(\cl A) =m_J(A\cup \partial A) =m_J(A)+m_J(\partial A)-m_J(A\cap \partial A) =m_J(A)

である．

m_J(A)=m_J(\intr A)+m_J(A\cap \partial A)=m_J(\intr A)

を得る．

Remark. Jordan測度は，Jordan可測集合の上では 「有限加法的な体積」として振る舞う． しかし，その本質はあくまで有限加法性であり， 可算個の集合を同時に扱うところで理論が止まる． ここが後のLebesgue測度との最大の違いである．

Theorem2.7.2
uses 0used by 0XL∃∀N

分割によるJordan測度の近似. 有界閉区間 I \subset \RR^d とJordan可測集合 A \subset I を取る． 各 n に対して

\calP_n : I = \bigsqcup_{i=1}^{N_n} Q_i^{(n)}

を I の分割とし，

|\calP_n| \to 0 \qquad (n\to\infty)

とする．さらに

F_n := \bigcup_{Q_i^{(n)} \subset A} Q_i^{(n)}, \qquad G_n := \bigcup_{Q_i^{(n)} \cap A \neq \emptyset} Q_i^{(n)}

とおく． このとき

m_J(F_n)=L(1_A,\calP_n)\to m_J(A), \qquad m_J(G_n)=U(1_A,\calP_n)\to m_J(A)

が成り立つ．特に

\sum_{Q_i^{(n)} \cap A \neq \emptyset} |Q_i^{(n)}| \to m_J(A)

である．

Proof for Theorem 2.7.2
uses 0

上の定理と系より，1_A は I 上Riemann可積分であり，

\int_I 1_A(x)\,dx = m_J(A)

である．

各 n に対して，Q_i^{(n)} \cap A \neq \emptyset なら t_i^{(n)} \in Q_i^{(n)} \cap A を1点取り， Q_i^{(n)} \cap A = \emptyset なら t_i^{(n)} \in Q_i^{(n)} を任意に取る． すると

1_A(t_i^{(n)})= \begin{cases} 1 & (Q_i^{(n)} \cap A \neq \emptyset),\\ 0 & (Q_i^{(n)} \cap A = \emptyset) \end{cases}

だから，対応するRiemann和は

S(1_A,\calP_n,t^{(n)}) = \sum_{Q_i^{(n)} \cap A \neq \emptyset} |Q_i^{(n)}| = U(1_A,\calP_n) = m_J(G_n)

に一致する． したがってRiemann積分の一意性（区分求積法）より

m_J(G_n)=U(1_A,\calP_n)\to \int_I 1_A(x)\,dx = m_J(A)

を得る．

同様に，Q_i^{(n)} \subset A なら s_i^{(n)} \in Q_i^{(n)} を任意に取り， Q_i^{(n)} \not\subset A なら s_i^{(n)} \in Q_i^{(n)} \setminus A を1点取る． このとき

1_A(s_i^{(n)})= \begin{cases} 1 & (Q_i^{(n)} \subset A),\\ 0 & (Q_i^{(n)} \not\subset A) \end{cases}

であるから

S(1_A,\calP_n,s^{(n)}) = \sum_{Q_i^{(n)} \subset A} |Q_i^{(n)}| = L(1_A,\calP_n) = m_J(F_n)

となる．再び区分求積法より

m_J(F_n)=L(1_A,\calP_n)\to \int_I 1_A(x)\,dx = m_J(A)

を得る．