2.6. Jordan可測集合の性質🔗

Definition2.6.1

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集合環. 集合Xの空でない部分集合族\calAが集合環（ring of sets）であるとは，(1)差集合（相対的補集合） A \setminus B と (2) 有限合併 A \cup B について閉じていることをいう．

定義から自動的に，集合環\calAは (0) 空集合 \emptyset を含み，(3) 有限交叉 A \cap B について閉じている．

Theorem2.6.2

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Theorem 2.5.2

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Jordan可測集合の集合演算に関する閉性. \RR^dのJordan可測集合の全体\calA_Jは，集合環をなす．つまり， Jordan可測集合 A,B \subset \RR^d と c \in \RR^d に対して，

A \cup B,\qquad A \cap B,\qquad A \setminus B,\qquad A+c

は再びJordan可測である．

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Proof for Theorem 2.6.2

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境界について

\partial(A \cup B) \subset \partial A \cup \partial B, \qquad \partial(A \cap B) \subset \partial A \cup \partial B,

\partial(A \setminus B) \subset \partial A \cup \partial B, \qquad \partial(A+c) = \partial A + c

が成り立つ． Jordan零集合の有限和と平行移動は再びJordan零集合だから，判定法より各集合はJordan可測である．

Proposition2.6.3

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可算和に関して閉じていない. \QQ \cap [0,1] を

\QQ \cap [0,1] = \bigcup_{n=1}^\infty \{q_n\}

と可算個の1点集合の和に書く．各 \{q_n\} はJordan可測かつJordan零集合であるが，既に見た通り，和集合 \QQ \cap [0,1] はJordan可測でない．

したがってJordan可測集合の全体は可算和で閉じていない．

Proposition2.6.4

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Tagsexample

極限に関して閉じていない. 上と同じ列 q_1,q_2,\dots を用いて

E_n:=\{q_1,\dots,q_n\}

とおくと，各 E_n はJordan可測かつJordan零集合である．

m_J(E_n)=0 \qquad (n=1,2,\dots)

ところが，

E_1 \subset E_2 \subset \cdots, \qquad \bigcup_{n=1}^\infty E_n=\QQ \cap [0,1]

である．

極限集合 \QQ \cap [0,1] はJordan可測でないので，

つまりJordan可測集合の全体は，可算極限でも閉じていない．

Remark. これらの例が示す通り，Jordan可測集合は可算和で閉じていない．一方，後に導入するLebesgue測度では A は可測で，しかも測度 0 である．この例はまた，有界集合でもJordan可測とは限らないことを示す．なお，集合Aは閉集合ではない．

Jordan可測性は，有界性や開閉ではなく，「境界がJordan零かどうか」によって決まる．