任意の \eps>0 に対し，各 k に対して基本集合 E_k が存在して

A_k \subset E_k, \qquad m_J(E_k)<m_J^*(A_k)+\frac{\eps}{n}

を満たす．このとき \bigcup_{k=1}^n E_k は基本集合で

\bigcup_{k=1}^n A_k \subset \bigcup_{k=1}^n E_k

だから

m_J^*\Bigl(\bigcup_{k=1}^n A_k\Bigr) \le m_J\Bigl(\bigcup_{k=1}^n E_k\Bigr) \le \sum_{k=1}^n m_J(E_k) < \sum_{k=1}^n m_J^*(A_k)+\eps.

\eps の任意性より結論を得る．

(1) \Leftrightarrow (2)quad ここでは

\uint{I}{}1_A(x)\,dx = m_J^*(A), \qquad \lint{I}{}1_A(x)\,dx = m_{J,*}(A)

を認める． したがって

1_A \text{ が } I \text{ 上Riemann可積分}

であること，すなわち

\uint{I}{}1_A(x)\,dx = \lint{I}{}1_A(x)\,dx

であることは，

m_J^*(A)=m_{J,*}(A)

すなわち A がJordan可測であることと同値である．

(2) \Rightarrow (3)quad 1_A がRiemann可積分なら，Darbouxの判定法により， 任意の \eps > 0 に対して

U(1_A,\calP) - L(1_A,\calP) < \eps

となる分割 \calP が取れる． この分割に対し

F := \bigcup_{R_j \subset A} R_j, \qquad G := \bigcup_{R_j \cap A \neq \emptyset} R_j

とおけば，F,G は基本集合で F \subset A \subset G かつ

m_J(G \setminus F) = U(1_A,\calP) - L(1_A,\calP) < \eps

である．

(3) \Rightarrow (1)quad 任意の \eps > 0 に対して

F \subset A \subset G, \qquad m_J(G \setminus F) < \eps

を満たす基本集合 F,G が存在するとする． このとき

m_{J,*}(A)\ge m_J(F), \qquad m_J^*(A)\le m_J(G)

だから

0 \le m_J^*(A)-m_{J,*}(A) \le m_J(G)-m_J(F) = m_J(G \setminus F) < \eps.

\eps の任意性より m_J^*(A)=m_{J,*}(A) である．

(3) \Rightarrow (4)quad F \subset A \subset G とすると

\partial A \subset \cl G \setminus \intr F \subset (G \setminus F) \cup \partial G \cup \partial F.

ここで補題より \partial F,\partial G はJordan零集合であるから，

m_J^*(\partial A) \le m_J(G \setminus F) + m_J^*(\partial G) + m_J^*(\partial F) = m_J(G \setminus F) < \eps

が従う． したがって \partial A はJordan零である．

(4) \Rightarrow (3)quad \partial A がJordan零集合なので， 任意の \eps > 0 に対して

\partial A \subset H, \qquad H \text{ は基本集合}, \qquad m_J(H) < \eps

となる基本集合 H が存在する．

I = \prod_{k=1}^d (\alpha_k,\beta_k]

を A \cup H を含む \calE_d の元とする． いま，I と H に現れる全ての端点で I を格子分割すると，

I = \bigsqcup_{j=1}^N R_j

と書け，しかも各 R_j は H に含まれるか，H と交わらないかのいずれかである．

\mathcal{J}:=\{j \mid R_j \cap H=\emptyset\}

とおくと

I \setminus H = \bigsqcup_{j \in \mathcal{J}} R_j

である．各 R_j は凸だから連結である．また R_j \cap \partial A=\emptyset であるから， R_j は A と A^c の両方に交わることはできない．したがって各 j\in\mathcal{J} について

R_j \subset A \qquad\text{または}\qquad R_j \cap A=\emptyset

のいずれかが成り立つ．そこで

F:=\bigsqcup_{\substack{j\in\mathcal{J}\\ R_j\subset A}} R_j

とおくと，F は基本集合で

F \subset A

を満たす．さらに，x\in A\setminus H なら x はある R_j に属し，このとき j\in\mathcal{J} かつ R_j\cap A\neq\emptyset だから R_j\subset A である．よって x\in F であり，

A \subset F \cup H

が従う． G := F \cup H とおけば基本集合で

F \subset A \subset G, \qquad G \setminus F \subset H

が成り立つ． したがって

m_J(G \setminus F) \le m_J(H) < \eps.

上の定理より 1_A はRiemann可積分である． さらに基本集合 F,G による近似に対して

m_J(F) \le \int_I 1_A(x)\,dx \le m_J(G)

が成り立つので，m_J(G \setminus F) を 0 に近づければ 積分値は m_J(A) に一致する．

各点集合 \{q\} はJordan零集合だが， A は [0,1] の中で稠密なので

\partial A = [0,1]

となり，Jordan可測ではない．