2.2. \RR^dのRiemann積分🔗

第1章の1次元Riemann積分は，そのまま d 次元へ拡張できる． 積分区間としては有界閉区間

I = [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d]

を取り，分割 \calP は各座標方向の有限分割から得られる有限個の小区間の族

I = \bigcup_{j=1}^N R_j

とする． ここで各 R_j は境界でのみ重なりうるが，体積を考える上では問題にならない． 分割の大きさは

|\calP| := \max_{1 \le k \le d,\ 1 \le i \le n_k} (x_{k,i}-x_{k,i-1})

で測る．

有界関数 f : I \to \RR に対し，各小区間 R_j から評価点 t_j \in R_j を選んで

S(f,\calP,t) := \sum_{j=1}^N f(t_j)\,|R_j|

をRiemann和という． 1次元の場合と同様に，分割の取り方によらない極限

\lim_{|\calP| \to 0} S(f,\calP,t) =: \int_I f(x) dx

によってRiemann積分を定義する．この極限が存在するとき，fはI上Riemann可積分であるという．

またDarbouxの上和・下和を

U(f,\calP) := \sum_{j=1}^N \sup_{x \in R_j} f(x)\,|R_j|, \qquad L(f,\calP) := \sum_{j=1}^N \inf_{x \in R_j} f(x)\,|R_j|

で定め，Darboux上積分・下積分を

\uint{I}{} f(x)\,dx := \inf_{\calP} U(f,\calP), \qquad \lint{I}{} f(x)\,dx := \sup_{\calP} L(f,\calP)

で定める． さらに

\uint{I}{} f(x)\,dx = \lint{I}{} f(x)\,dx

が成り立つとき，f は I 上Darboux可積分であるという． Darboux可積分とRiemann可積分は同値であり，その共通値は

\int_I f(x)\,dx

である．

特に f = 1_A （指示関数）のとき，各小区間上での上限と下限は 0 か 1 しか取らないので，

U(1_A,\calP) = \sum_{R_j \cap A \neq \emptyset} |R_j|, \qquad L(1_A,\calP) = \sum_{R_j \subset A} |R_j|

となる． つまり，指示関数の上和と下和は， 分割に沿って A を外側・内側から近似する基本集合の体積そのものである． これがJordan測度の出発点である．