1.7. Riemann積分の長所と短所🔗

長所：定義が素朴であり，計算しやすい

• Riemann和 \approx 区分定数関数の積分 \approx 区分求積法

• 微分積分学の基本定理（原始関数）

短所：無限回操作に対して不安定

• Dirichlet関数のように不連続点が稠密に存在する関数はRiemann可積分でない．

• 定義域が非有界の関数はRiemann可積分でない．

• 非有界な関数はRiemann可積分でない．

• 一様収束よりも弱い収束ではRiemann可積分性が保たれない．

原因：Riemann積分の定義が有限和（有限分割\mathcal P）の極限 なので，非有界性や無限回操作に対して不安定である．

\mathcal P : I = \bigsqcup_{i=1}^n A_i, \quad S(f,\mathcal P) = \sum_{i=1}^n f(x_i) |A_i|, \quad \int_a^b f(x) dx = \lim_{|\mathcal P| \to 0} S(f,\mathcal P).

技術的課題：無限和（無限分割）にすると何が起きるか

\mathcal P' : I=\bigsqcup_{i=1}^\infty A_i, \quad S'(f,\mathcal P'):=\sum_{i=1}^\infty f(x_i) |A_i|, \quad \int_a^b f(x) dx = \lim_{|\mathcal P'| \to 0} S'(f,\mathcal P').

• 級数が収束するための条件は何か

• 分割の取り方に依らず積分が確定するための条件は何か

解決策：Lebesgue積分

• Riemann積分・Jordan測度を（互換性を保ちながら）修正し，より広いクラスの関数を積分可能にする

• 有限加法性から可算加法性へ

展望：何が嬉しいか

• 非有界な関数や定義域が無限大の関数も積分可能になる

• 不連続点が稠密に存在する関数も積分可能になる

• より弱い収束概念で順序交換ができるようになる

多くの応用先

• 確率論・数理統計学：無限回試行，確率過程

• 関数解析・作用素論：無限次元の「線形代数」

• 微分方程式論・制御理論：解空間・状態空間の無限次元性

• 調和解析・信号処理：Fourier級数，Fourier変換