1.6. 順序交換の応用例
- No associated Lean code or declarations.
関数項級数の項別積分.
区間[a,b]上のRiemann可積分関数列\{f_n\}が定める級数\sum_{n=1}^\infty f_n(x)で一様収束して，関数gに収束するとする．このとき，関数gは区間[a,b]上でRiemann可積分であり，さらに，
\int_a^b g(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x) dx.
関数列\{f_n\}の部分和をS_N := \sum_{n=1}^N f_nとおく．このとき，S_Nは区間[a,b]上でRiemann可積分であり，さらに，
\int_a^b S_N(x) dx = \sum_{n=1}^N \int_a^b f_n(x) dx.
S_Nはgに一様収束するから，前の定理より，
\int_a^b g(x) dx = \lim_{N \to \infty} \int_a^b S_N(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \int_a^b f_n(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x) dx.
例えばTaylor展開やFourier級数の項別積分などがこの定理の応用例である．
- No associated Lean code or declarations.
一様収束しないが順序交換できる例.
区間[0,1]上の関数列\{f_n\}を以下のように定義する．
f_n(x) = \begin{cases}
1 & \text{if } 0 \le x < \frac{1}{n}, \\
0 & \text{if } \frac{1}{n} \le x \le 1.
\end{cases}
このとき，関数列\{f_n\}は区間[0,1]上で関数f(x) = 0に各点収束する．
一方，一様収束はしない．
ところが，任意のnに対して，
\int_0^1 f_n(x) dx = \frac{1}{n} \to 0 \quad (n \to \infty), \qquad \int_0^1 f(x) dx = 0
であるから，一様収束しないにもかかわらず，順序交換ができる．