1.5. 極限と積分の順序交換
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Riemann可積分関数列\{f_n\}が区間[a,b]上で一様収束して，関数fに収束するとする．このとき，関数fは区間[a,b]上でRiemann可積分であり，さらに，
\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b f(x) dx.
上積分と下積分の単調性により，
\uint{a}{b} f(x) dx \le \uint{a}{b} f_n(x) dx + (b-a)\| f - f_n \|,
\quad \lint{a}{b} f(x) dx \ge \lint{a}{b} f_n(x) dx - (b-a)\| f - f_n \|.
f_nはRiemann可積分なので，
\uint{a}{b} f_n(x) dx = \lint{a}{b} f_n(x) dx = \int_a^b f_n(x) dx.
よって
\uint{a}{b} f(x) dx - \lint{a}{b} f(x) dx \le \underbrace{\uint{a}{b} f_n(x) dx - \lint{a}{b} f_n(x) dx}_{=0} + 2(b-a)\| f - f_n \| \to 0 \quad (\text{as } n \to \infty).
積分の線形性により，
| \int_a^b f_n(x)dx - \int_a^b f(x)dx | \le \int_a^b dx \|f_n - f\| \to 0 \quad (\text{as } n \to \infty).
Remark. 多くの場合に一様収束は期待できないため，より一般的な収束概念を用いて順序交換の定理を証明する必要がある． Riemann積分の範囲では，Arzelaの優収束定理を用いて一様収束よりも弱い条件に対する順序交換の定理を証明できる．これはLebesgue積分の優収束定理の系なので，これ以上は追究しない．