1.4. Riemann可積分でない例🔗

Proposition1.4.1

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非有界関数はRiemann可積分でない．

Lean code for Proposition1.4.1●1 declaration, 1 missing

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Proof for Proposition 1.4.1

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区間[a,b]上の非有界関数fを任意に選ぶ．非有界性の仮定より，[a,b]の任意の分割\mathcal{P}において，ある区間[x_{i-1}, x_i]が存在して上和または下和が非有界である．したがって，Riemann可積分でない．

Proposition1.4.2

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定義域が非有界の関数はRiemann可積分でない．

Proof for Proposition 1.4.2

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定義より．

Remark. Riemann積分論では，非有界空間上の関数（f:\RR \to \RRなど）の積分として，「広義Riemann積分」という拡張概念を導入する．広義Riemann積分の一部には，Lebesgue積分よりも一般的な「積分」が含まれる．

Proposition1.4.3

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Dirichlet関数（有理数上で1，無理数上で0となる関数）f:[0,1] \to \mathbb{R}

f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x \in \mathbb{Q} \cap [0,1], \\ 0 & \text{if } x \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cap [0,1]. \end{cases}

はRiemann可積分でない．

Lean code for Proposition1.4.3●2 declarations, 2 missing

NoteKsk.Chapter01.dirichletmissing declaration

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Proof for Proposition 1.4.3

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区間[a,b]の分割\mathcal{P}と評価点の列tを任意にとる． Dirichlet関数fは区間[a,b]上で稠密に不連続点を持つ．従って，各区間[x_{i-1}, x_i]に対して，

\sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) = 1, \quad \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) = 0

である．よってDarbouxの上和と下和は常に

U(f,\mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n 1 \cdot (x_i - x_{i-1}) = 1-0, \quad L(f,\mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n 0 \cdot (x_i - x_{i-1}) = 0

となる．これは分割の取り方によらないため，Darboux可積分でない．よってRiemann可積分でない．

Proposition1.4.4

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区間[0,1]上の有理点に番号をふる：r : \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \cap [0,1]（全単射）．これを用いて，区間[0,1]上の関数列\{f_n\}を以下のように定義する．

f_n(x) := \sum_{i=1}^n 1_{\{r(i)\}}(x).

各nに対して，f_nは区分的に連続なのでRiemann可積分である．一方，極限はDirichlet関数に各点収束するから，極限関数はRiemann可積分でない．