区間[a,b]の分割\mathcal{P}と評価点の列tを任意に選ぶと，Riemann和は常に

S(f,\mathcal{P},t) = \sum_{i=1}^n c(x_i - x_{i-1}) = c(b-a)

となる． これは分割\mathcal{P}の選び方に依らない定数なので，fはRiemann可積分である．

\int_a^b f(x)dx := \lim_{|\calP| \to 0} S(f,\calP,t) = c(b-a).

区間[a,b]の分割\mathcal{P} : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = bを用いて，

U(f,\mathcal P) - L(f,\mathcal P) = \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1} )^2 \le (b-a)|\mathcal P| \to 0 \quad \text{as} \quad |\mathcal P| \to 0.

よってfは可積分である．一方， 評価点の列として中点c_i := \frac{x_i+x_{i-1}}{2}を選ぶと，Riemann和は以下のようになる．

S(f,\mathcal{P},c) = \sum_{i=1}^n \frac{x_i + x_{i-1}}{2} (x_i - x_{i-1}) = \frac{b^2 - a^2}{2}.

ここで，中点によるRiemann和S(f,\calP,c)とRiemann積分\int_a^b x dxはいずれもDarbouxの上和と下和の間にあるので，はさみうちの原理により

|S(f,\mathcal{P},c) - \int_a^b f(x) dx| \le U(f,\calP) - L(f,\calP) \to 0 \quad \text{as} \quad |\calP| \to 0.

よって\int_a^b x dx = \frac{1}{2}(b^2-a^2) である．

区間[a,b]上の連続関数fは一様連続である．したがって，任意の\varepsilon > 0とn \in \mathbb{N}に対して， ある\delta >0が存在して， |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{b-a} が成り立つ． この\deltaを用いて，区間[a,b]の分割\mathcal{P}として|\mathcal P| < \deltaとなるものを選ぶと，

U(f,\mathcal{P}) - L(f,\mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n \left( \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) - \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \right)(x_i - x_{i-1}) \le \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) = \varepsilon

が成り立つ．ただし恒等式 \sup_x f(x) - \inf_y f(y) = \sup_{x,y} |f(x) - f(y)| を使った．したがって，Riemann可積分である．

J:=\sum_{i=1}^n c_i(x_i-x_{i-1}), \qquad M:=\max_{1\le i\le n}|c_i|

とおく．任意の \varepsilon>0 をとる．

0<\eta<\frac12\min_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})

かつ

4M(n-1)\eta<\varepsilon

となるように \eta を選ぶ． 分割

\mathcal P_\eta:\ a=x_0<x_1-\eta<x_1+\eta<\cdots<x_{n-1}-\eta<x_{n-1}+\eta<x_n=b

を考える．

この分割の各小区間のうち，跳び点 x_1,\dots,x_{n-1} を含まないものでは f は定数であるから，上和と下和の寄与は一致する． 一方，各跳び点 x_i のまわりの区間

[x_i-\eta,x_i+\eta] \qquad (1\le i\le n-1)

では，f の振れ幅は高々 2M，長さは 2\eta である．したがって

U(f,\mathcal P_\eta)-L(f,\mathcal P_\eta) \le \sum_{i=1}^{n-1}(2\eta)\cdot 2M = 4M(n-1)\eta < \varepsilon.

さらに，J は各跳び点近傍での寄与

\eta c_i+\eta c_{i+1}

をもつので，

2\eta\min\{c_i,c_{i+1}\} \le \eta c_i+\eta c_{i+1} \le 2\eta\max\{c_i,c_{i+1}\}

より

L(f,\mathcal P_\eta)\le J\le U(f,\mathcal P_\eta)

が成り立つ． したがって

\underline{\int_a^b} f(x)\,dx \le J \le \overline{\int_a^b} f(x)\,dx

であり，しかも

\overline{\int_a^b} f(x)\,dx - \underline{\int_a^b} f(x)\,dx \le U(f,\mathcal P_\eta)-L(f,\mathcal P_\eta) < \varepsilon.

\varepsilon>0 は任意であるから，上積分と下積分は一致し，その共通値は J に等しい． よって f は Riemann 可積分であり，

\int_a^b f(x)\,dx = J = \sum_{i=1}^n c_i(x_i-x_{i-1})

となる．

区分的連続性より，f は [a,b] 上で有界である．

M:=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|<\infty

とおく．任意の \varepsilon>0 をとる．

0<\eta<\frac12\min_{1\le i\le m}(x_i-x_{i-1})

かつ

4Mm\eta<\frac{\varepsilon}{2}

となるように \eta を選ぶ．

まず

[a,a+\eta],\quad [x_1-\eta,x_1+\eta],\quad \dots,\quad [x_{m-1}-\eta,x_{m-1}+\eta],\quad [b-\eta,b]

を「悪い部分」とする．その総延長は 2m\eta であるから， この部分から来る上和と下和の差の寄与は高々

2M\cdot 2m\eta=4Mm\eta<\frac{\varepsilon}{2}

である．

一方，残りの閉区間

[a+\eta,x_1-\eta],\quad [x_1+\eta,x_2-\eta],\quad \dots,\quad [x_{m-1}+\eta,b-\eta]

上では f は連続であるから，一様連続である． したがって，それぞれをさらに細分して，各小区間における f の振れ幅が

\frac{\varepsilon}{2(b-a)}

未満になるようにできる． この細分を上の「悪い部分」と合わせた分割を \mathcal P とすると， 良い部分からの寄与は

\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\cdot (b-a)=\frac{\varepsilon}{2}

以下である．

以上より

U(f,\mathcal P)-L(f,\mathcal P)<\varepsilon

が成り立つ． よって f は Darboux 可積分であり，したがって Riemann 可積分である．

可積分性により，\mathcal P_kによるDarbouxの上和と下和の差は0に収束する

U(f,\mathcal{P}_k) - L(f,\mathcal{P}_k) \to 0, \quad \text{as} \quad k \to \infty.

さて，任意の k についてRiemann和は常にDarbouxの上和と下和の間にある．

L(f,\mathcal P_k)\le S(f,\mathcal P_k,t^{(k)})\le U(f,\mathcal P_k)

また Darboux 積分の定義から

L(f,\mathcal P_k)\le I\le U(f,\mathcal P_k)

も成り立つ．したがってはさみうちの原理により，

\bigl|S(f,\mathcal P_k,t^{(k)})-I\bigr| \le U(f,\mathcal P_k)-L(f,\mathcal P_k)\to 0.

ゆえに

S(f,\mathcal P_k,t^{(k)})\to \int_a^b f(x)\,dx.

fは連続なので，Riemann可積分である． 区間[a,b]の分割\mathcal{P}を任意にとる． Fに対する平均値の定理により，任意のiに対して，区間[x_{i-1}, x_i]の点t_iが存在して，

f(t_i) = \frac{F(x_i) - F(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}}.

この点を評価点としてRiemann和を定義すると，Riemann和S(f,\mathcal{P},t)は以下のようなtelescopic sumとなる．

S(f,\mathcal{P},t) = \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (F(x_i) - F(x_{i-1})) = F(b) - F(a).

これは分割\calPの取り方に依らない定数であり，特に|\calP| \to 0のとき\lim_{|\calP| \to 0} S(f,\calP,t) = F(b)-F(a)． 区分求積法の議論により，

\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to 0} S(f,\mathcal{P},t) =F(b) - F(a).